La pregunta pide que se demuestre que si $b_n = o(\frac 1n)$ como $n \to \infty$ siempre se puede construir una serie convergente $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ tal que $b_n = o(a_n)$ como $n \to \infty$ .
Lo que he probado hasta ahora:
Si elijo un $N \in \Bbb N$ tal que $|nb_n|<1$ para todos $n>N$ entonces $b_n < \frac 1n$ . Por el axioma de completitud puedo elegir un $a_n$ tal que $b_n < a_n < \frac 1n$ . Con algunos $a_n$ dentro de estos límites para cada $n$ , $$ 0 < \left| \frac {b_n}{a_n} \right| < \left|\frac{b_n}{\left (\frac 1n\right)}\right| = |\ nb_n| $$
para todos $n> N $ así que $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0.$
En este punto estoy atascado ya que no sé si lo que he hecho es válido o cómo formular $a_n$ más precisamente si lo es. Además, mostrar que el límite anterior converge a 0 parece un argumento circular.
Sin embargo, como $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ sí converge para todos los $p > 1$ Debería ser capaz de construir $a_n$ para que la suma converja utilizando el teorema de la comparación y asegurando cada $a_n$ no es negativo.
Edición: mirando de nuevo la pregunta, no especifica que $b_n = o( \frac 1n)$ para la base $n \to \infty$ . Pero como no da ninguna otra base asumo que ésta estaba implícita.
