Probando un ejercicio de mi clase de geometría de la escuela secundaria

Question

En mi clase estamos aprendiendo geometría y el instructor nos dio este problema: Sea $ABC$ sea un triángulo escaleno con ortocentro $H$ y que $W$ sea un punto del lado $BC$ que se encuentra estrictamente entre $B$ y $C$ . Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las altitudes de $B$ y $C$ respectivamente. Denotemos por $\omega_1$ el círculo de $BWN$ y que $X$ sea el punto en $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$ . Análogamente, denotemos por $\omega_2$ la circunferencia del triángulo $CWM$ y que $Y$ sea el punto tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$ Demuestra que $X, Y, H$ son colineales.

Ya resolví este problema trivial usando métodos motivados de eje radical pero mi instructor propuso otra solución donde se refleja $W$ sobre el punto medio de $BC$ . Supongamos que este punto es $V$ . Me di cuenta de que si puedo probar $VY$ es perpendicular a $AC$ entonces el problema es inmediatamente demostrado por Pappus. ¿Alguien sabe cómo demostrar esta afirmación?

Answer 1

A través de D, se traza una línea paralela a BM que corta a WY en T y a CM en K. Tras esta configuración, CM es perpendicularmente bisecado por DTK y, además, T es el centro de $\omega_2$ (porque es la intersección del diámetro WY y la bisectriz de la cuerda CM).

Esto hace que DT la línea de centros de $\omega_2$ y $\omega_3$ (centrado en D, radio = DV).

Dejemos que $\omega_2$ y $\omega_3$ se cruzan en Z. Entonces, la extensión TD corta a WZ (la cuerda común) en ángulo recto. Nótese que ZVY es una línea recta porque $\angle WZV$ (en relación con $\omega_3$ ) $= \angle WZY$ (en relación con $\omega_2$ ) $= 90^0$ . Entonces concluimos que $BM$ , $DTK$ y $VY$ son todos paralelos. El resultado es el siguiente.

Observación: El punto X no juega ningún papel en esta pregunta.