un esquema de "intuitiva de las matemáticas"?

Question

Esta pregunta está relacionada con la tercera respuesta en este post.

Parece ser que hay una diferencia entre la idea intuitiva de una cosa (como una función) y los "modelos" de esa cosa en matemáticas (tales como la manera en que vemos las funciones como una especie de conjunto de pares ordenados). Otro ejemplo de esto es que los números naturales y el conjunto de la teoría de la construcción de los números naturales. Si nuestra teoría de conjuntos no tiene un axioma de infinitud que nos permite definir $\mathbb{N}$, entonces estamos rechazado el uso de la inducción? O es la inducción algo "simplemente creemos" independiente de cualquier modelo? Una pregunta concreta que viene a la mente es: si no hay un axioma del infinito, podríamos probar la afirmación "Si $X_1,\dots,X_n$ son conjuntos, entonces existe un conjunto $\{X_1,\dots,X_n\}$"? (esta es una afirmación que creo que requiere la inducción y el axioma de infinitud). Podría "$X_1,\dots,X_n$" incluso se dijo que sin la formal de la noción de $\mathbb{N}$?

Mis preguntas son:

1) ¿los modelos formales, tales como la teoría de conjuntos, en realidad justificar "intuitiva de las matemáticas"? Mi sensación es que no. Puedo tomar los números de $0,1,2,\dots$ e inducción para concedida (conceptualmente antes de la teoría de conjuntos).

2) Si no, entonces ¿por qué es la formalidad de la teoría de conjuntos a menudo se utiliza como justificación para "intuitiva de las matemáticas"? Por ejemplo, usted puede ver los autores que explican la inducción de mencionar la perspectiva de conjunto, lo que es irrelevante si la inducción es algo que se nos da por sentado.

3) ¿hay libros de texto o documentos que intento de esbozar lo que constituye "intuitiva matemáticas" sin recurrir a modelos o a la formalidad de la teoría de conjuntos?

Supongo que estoy interesado en la comprensión de "lo que viene primero". Lo que todos debemos dar por sentado? ¿Cuál es la metatheory (es esta la palabra correcta?)?

Answer 1

No hay ninguna manera de "probar" o "justificar" la intuición. Lo que puedes hacer, es ver las propiedades que se puede esperar algo a tener, y de comprobar que la "teórica" de la construcción está de acuerdo con ellos (con la prueba.) Del mismo modo, creo que se puede tomar una construcción que se encuentra "intuitiva" y demostrar que es equivalente a una más "formal" o "diferentes" enfoque". En cierto sentido, podría hacer que su intuición precisa, y el marco en términos matemáticos, y luego demostrar su equivalencia a una definición más formal.

Creo que este es un buen ejemplo.

Alternativamente, uno puede sentir que los una de las tres construcciones de $\mathbb{R}$ son intuitivas, y probar equivalente a la de los otros dos:

1. La finalización de todas las secuencias de Cauchy en $\mathbb{Q}$.

2. La construcción por Dedekind Cortes

3. Definir $\mathbb{R}$ es una Ordenó Campo con el Mínimo límite Superior de la Propiedad.

Poincaré tiene unas bonitas vistas sobre la intuición y la lógica en las matemáticas: de Poincaré en la intuición.

Aquí está una breve cita:

Y luego,", dicen los filósofos, "todavía queda por demostrar que el objeto que corresponde a esta definición es, de hecho, el mismo dado a conocer por intuición; o bien que algunos reales y concretas objeto cuya conformidad con la idea intuitiva de que usted cree de inmediato reconocer corresponde a su nueva definición. Sólo entonces se podría afirmar que tiene la propiedad en cuestión. Sólo han desplazado a la dificultad."

Que no es exactamente así; la dificultad no ha sido desplazadas, que ha sido dividida. La propuesta de que se establezca es en realidad compuesto de dos diferentes verdades, al principio no se distinguen. El primero fue un matemático de la verdad, y ahora es rigurosamente establecido. El segundo fue un experimentales de verity. La sola experiencia puede enseñarnos que algunos reales y concretas objeto corresponde o no corresponde a algunos definición abstracta. Esta segunda verdad no está matemáticamente demostrado, pero tampoco puede ser, no más de lo que puede empírica de las leyes de la física y las ciencias naturales. Sería descabellado pedir más."

Tal vez usted también estaría interesado en intuitionsim, como el desarrollado por Brouwer.

Answer 2

"Intuitiva matemáticas" no es un modelo en su cuenta, es conveniente abstracción sobre modelos formales que son esencialmente sin sentido fuera de dicho campo.

1) No "intuición", que no está bien definido, pero intuitivo de las matemáticas es a menudo simplemente pensado como una abstracción, que es válido.

2) Porque permite justificar algunos intuición. Básicamente, se utiliza para "convencer" al lector.

3) la Mayoría de los libros de texto sobre la Teoría de conjuntos Axiomática o Fundamentos de la matemática se introducen varios conceptos ("abstracciones") lo que permite una mayor mente intuitiva modelo.

Si queremos apartar la mirada de la teoría de conjuntos, tipo de teoría es tal vez más cerca de la intuición, y que vale la pena leer.

Answer 3

Para responder a su pregunta "¿modelos formales justificar intuitiva de la matemática?" Yo diría que es justo lo contrario: intuitiva matemáticas justificar los modelos formales. En la física es bastante claro que la línea inferior es la física de los fenómenos y de las teorías de los físicos desarrollan son en última instancia justifica sólo en la medida en que parecen encajar con la ex. En la década de 1950 después de una fructífera carrera en matemáticas y en física, Hermann Weyl llegó a lo que para él fue una sorprendente conclusión de que en matemáticas las cosas en última instancia, son muy similares: nuestros formal teorías son meramente negrita son ideales en lugar de tener una vida propia. No todos los matemáticos suscribirse a este punto de vista; una opinión popular entre algunos de los teóricos y también los matemáticos es que hay algo que se llama "la Intención de la Interpretación" que es el "fundamento" de nuestra matemática; para más información sobre esto ver este hilo.

Answer 4

"Si nuestra teoría de conjuntos no tiene un axioma de infinitud que nos permite definir N, entonces estamos rechazado el uso de la inducción?"

A veces, el paso inductivo de una prueba inductiva puede obtener definidos algo como lo siguiente:

Para cualquier n, si P(n) se mantiene, entonces P(S(n)) sostiene, donde S(n) indica el sucesor de n en la secuencia.

Suponga que usted puede hacer inducción con un conjunto finito válidamente, como una secuencia de A. Entonces se puede mostrar que suponiendo que P(n), se puede deducir que P(S(n)) se mantiene. Pero, tiene un último miembro, y por lo tanto P(S(n)) no tiene sentido cuando n es el último miembro de A. en consecuencia, no podemos válidamente mostrar que para cualquier, si P(n) se mantiene, entonces P(S(n)).

Dicho esto, supongo que se podría reformular el principio de inducción matemática como algo como:

Para cualquier n, si S(n) existe, entonces si P(n) se mantiene, entonces P(S(n)) se mantiene.

"O es la inducción algo "simplemente creemos" independiente de cualquier modelo?"

No voy a anunciar a hablar por los demás creencias de aquí. Pero, yo no creo en la inducción si dicen que hablando sobre el conjunto de números fuzzy, o el conjunto de los números del intervalo. Así que, no, no creo que independiente de cualquier modelo.

"Una pregunta concreta que viene a la mente es: si no hay un axioma del infinito, podríamos probar la afirmación "Si X1,...,Xn son conjuntos, entonces existe un conjunto {X1,...,Xn}"

Considere la posibilidad de un n-ary operación que para cualquier secuencia de conjuntos de todos los miembros de esa secuencia {X1, ..., Xn}. Tan largo como un n-ary operación existe, existe, entonces, un conjunto {X1, ..., Xn}.

Answer 5

La inducción funciona aún en la ausencia de el axioma de infinitud.

Sin AxInf, usted todavía tiene $0 = \emptyset, 1 = \{0\}$, $2 = \{0, 1\}$, etc.

Para un conjunto $X$, si definimos el sucesor de $X$$X \cup \{X\}$, entonces cada conjunto tiene un sucesor. En resumen, tenemos una colección cuyos miembros son exactamente $0, 1, 2, 3, \dots$ Esta colección no es un conjunto, pero todavía podemos hacer de inducción. La colección de números naturales es todavía bien ordenada, y que satisfacen los axiomas de Peano.

Ver Andrés E. Caicedo respuesta a esta pregunta. ¿Cuáles son las consecuencias si el Axioma de Infinitud es negado?. En particular, "ZFC con el infinito reemplazado por su negación es biinterpretable con PA, la Aritmética de Peano."