Unicidad de los problemas de Cauchy de distribución moderada

Question

Pregunta . Supongamos que $U\in C^1(\,[0, \infty)\to \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)\,)$ es una solución del siguiente problema de Cauchy distributivo atemperado $$\tag{CP}\begin{cases} \frac{ d U}{dt} = f \cdot U(t), & t>0 \\ U(0) = 0 \end{cases} $$ donde $f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ es una función suave que no depende de $t$ . ¿Es cierto que $U(t)=0$ en todo momento $t>0$ ?

Los antecedentes de esta pregunta provienen de un pasaje del libro sobre EDP de Michael E. Taylor. El autor afirma que el problema \begin{equation} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} -\Delta u =0, & t>0,\ x\in \mathbb{R}^n \\ u(0, x)=u_0 \end{cases} \end{equation} tiene una solución distributiva única templada si $u_0$ es una distribución templada. (Esto no es del todo trivial, ya que la unicidad falla si no se imponen condiciones de crecimiento en $u$ ). La demostración mediante la transformada de Fourier se reduce esencialmente a la afirmación de que el problema de Cauchy $$ \begin{cases} \frac{\partial \hat{u}}{\partial t}(t, \xi) + \lvert \xi\rvert^2 \hat{u}(t, \xi)=0, & t > 0 \\ \hat{u}(0, \xi)=0\\ \hat{u}\in C^1(\, [0, \infty)_t \to \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n_\xi)\, ) \end{cases} $$ tiene la solución única $\hat{u}(t, \xi)\equiv 0$ . Esto no me parece obvio y por eso planteo esta pregunta.

Answer 1

Creo que es una gran pregunta. Esta es la dirección que yo intentaría. Así que supongo que usted es capaz de probar esto si $f$ tiene soporte compacto (ya que la multiplicación por $f$ sería entonces una operación continua de $\mathcal S \to \mathcal S$ ). En segundo lugar, supongo que existe un teorema que dice que si $\mu, \nu \in \mathcal S'$ y $\mu(\phi) = \nu(\phi)$ para todos $\phi \in \mathcal S$ que se soportan de forma compacta, entonces $\mu = \nu$ . Creo que cualquier prueba que se utilice para demostrar esto tendría que ser una parte importante de mi argumento.

Así que escoge una función de bacheo $\rho \in \mathcal S$ tal que $\rho(x) = 1$ si $|x| \le 1$ y $\rho(x) = 0$ si $|x| \ge 2$ y $\rho(x) \in [0,1]$ para todos $x \in \mathbb R^n$ .

Entonces, para cada número entero positivo $m$ , dejemos que $U_m$ sea la solución de la ecuación $$ \frac d{dt} U_m = \rho(\cdot/m) f \cdot U_m ,\quad U_m(0) = 0$$ y demostrar que $U_m \equiv 0$ . Entonces demuestre que $U(t,\cdot) = U_m(t,\cdot)$ en $B(0,m)$ . Y luego concluye $U = \lim_{m\to\infty} U_m = 0$ .

Answer 2

Esta es una solución parcial que me sugirió mi director de tesis. Es parcial porque necesita algunas suposiciones adicionales sobre $f$ . O bien $f$ debe ser de valor real y cada una de sus derivadas debe estar acotada por encima, o $f$ debe ser de valor complejo y cada una de sus derivadas debe estar acotada. $^{[1]}$ En particular, este método de prueba funciona cuando $f$ es el símbolo del Laplaciano y también cuando $f$ tiene un soporte compacto.

Este resultado parcial puede ser introducido en la gran respuesta de Stephen Montgomery-Smith para eliminar la suposición adicional sobre $f$ . Sin embargo, todavía no he comprobado los detalles.

Consideremos nuestro problema de Cauchy junto con un problema dual adecuado: $$\tag{CP} \begin{cases} \partial_t U - f\cdot U = 0, & U \in C^1(\, [0, +\infty) \to \mathcal{S}'\, ) \\ U(0) = 0 \end{cases} $$ y $$ \tag{CP'} \begin{cases} \partial_t \phi + f\cdot \phi = 0, & t\in(0, T) \\ \phi(T)=\psi \in \mathcal{S} \end{cases} $$ Aquí $T > 0$ y $\psi\in \mathcal{S}$ son arbitrarios. Nuestra tarea es demostrar que $$ \langle U(T), \psi\rangle=0. $$ Ahora el problema dual (CP') tiene la solución clásica única $$ \phi(t, \xi) = e^{( T - t )f(\xi)} \psi(\xi). $$ Nuestras suposiciones sobre $f$ implican que $\phi \in C^1(\,[0, +\infty)\to \mathcal{S}\, )$ . Por lo tanto, podemos utilizar $\phi(t)$ como función de prueba para $U(t)$ . El emparejamiento resultante es constante, porque $$ \begin{split} \frac{d}{dt} \langle U(t), \phi(t) \rangle & = \langle f U (t), \phi(t) \rangle \\ & = \langle U(t), f\phi(t)\rangle \\ & = -\frac{d}{dt} \langle U(t), \phi(t) \rangle. \end{split} $$ Deducimos que $$ \langle U(T), \psi\rangle = \langle U(T), \phi(T)\rangle=\langle U(0), \phi(0)\rangle = 0. $$ Desde $T$ y $\psi$ son arbitrarios, concluimos que $U\equiv 0$ .

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$^{[1]}$ En realidad, necesitamos el requisito ligeramente menos estricto de que $e^{\lambda f}$ es un función lentamente creciente para cualquier $\lambda>0$ . Para más información se puede consultar esta página de Wikipedia en francés .