Pregunta sobre la demostración de la igualdad de $ x\sqrt{y} $ y $ y\sqrt{\frac{x^2}{y}} $

Question

Quiero demostrar que $x\sqrt{y}=y\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}$; lo he demostrado por mi cuenta a través de una calculadora (forzándolo) cuando $x,y>0$, y esta es mi prueba: $$\begin{align*} x\sqrt{y} &= y\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}&&\text{Conjetura}\\ &= y\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y}}&&\text{Según Teorema 2.2}\\ &= y\dfrac{x}{\sqrt{y}}&&\because\sqrt{x^2}=x\\ &= \dfrac{xy}{\sqrt{y}}&&\text{Simplificación}\\ x\sqrt{y}\cdot\dfrac{1}{x} &= \dfrac{xy}{\sqrt{y}}\cdot\dfrac{1}{x}&&\text{Multiplicación}\\ \sqrt{y} &= \dfrac{y}{\sqrt{y}}&&\blacksquare \end{align*}$$

Preguntas

1. En una prueba, ¿basta con terminar con un axioma como resultado de la conjetura para probar la conjetura?
2. ¿Es correcta mi prueba (los pasos que tomé para llegar allí)?

Answer 1

No lo escribiste correctamente. Creo que querías escribir lo siguiente.

$$\color{blue}{x\sqrt{y} = y\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}\tag{Conjetura}}$$

\begin{align*} x\sqrt{y} = y\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}&\iff x\sqrt y= y\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y}}&&\text{Por definición de} \sqrt{\dfrac{x}{y}}\\ &\iff x\sqrt y= y\dfrac{x}{\sqrt{y}}&&\text{Ya que} \sqrt{x^2}=x\\ &\iff x\sqrt y= \dfrac{xy}{\sqrt{y}}&&\text{Simplificación}\\ &\iff x\sqrt{y}\cdot\dfrac{1}{x} = \dfrac{xy}{\sqrt{y}}\cdot\dfrac{1}{x}&&\text{Multiplicación}\\ &\iff \sqrt{y} = \dfrac{y}{\sqrt{y}}&&\blacksquare \end{align*}

La demostración en sí es correcta, pero, como se ha señalado en los comentarios, la primera justificación es incorrecta. Esto responde a la segunda pregunta.

Respondiendo a la primera pregunta, sí, es suficiente, has demostrado que la conjetura es verdadera si, y solo si, algo que siempre es cierto es cierto, por lo tanto, la conjetura siempre es verdadera.
Solo necesitas la dirección de abajo hacia arriba, por lo tanto, puedes reemplazar todos los $\iff$ por $\Longleftarrow$ para obtener $$\sqrt y=\dfrac y{\sqrt y}\implies x\sqrt y=y\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}.$$

Dado que la afirmación anterior es verdadera (debido a la prueba dada) y porque el antecedente de la declaración condicional es verdadero, entonces el consecuente no puede ser falso.