Local coeficiente de Sistema y la universalización de la cobertura

Question

Trabajamos con un espacio topológico $B$ cual es la ruta de acceso conectado y localmente trayectoria-conectado.

Tengo problemas en escribir una prueba formal de la siguiente proposición:

Prop: Cualquier local coeeficient sistema de $A\hookrightarrow E \to B$ es de la forma$$ A \hookrightarrow \tilde{B}\times_{\pi_1B} A \to B $$, es decir, asociados para el director (a $\pi_1B$-bundle dada por la universalización de la cobertura $\tilde{B}$ $B$ cuando la acción está dada por un homomorphism $\pi_1B \to $Aut$(A)$.

Soy capaz de demostrar que el natural monodromy acción de grupo fundamental en $A$ da a un grupo de homomorphism $\pi_1B \to $Aut$(A)$. Pero yo no soy capaz de demostrar que esto implica que $E \cong \tilde{B}\times_{\pi_1B} A $. Me puedes ayudar en eso?

Nota: El autor del libro que estoy leyendo dice que esto debería ser fácil para mostrar el uso de un estándar que cubre el espacio de argumento.

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He aquí algunas definiciones:

Def: Un local coeficiente de sistema es un haz de fibras $p:E\to B$ tal que

• La fibra es un discreto grupo abelian $A$
• La estructura de grupo $G$ es un subgrupo de Aut$(A)$

Def: Vamos a $p:P\to B$ principal $G$-bundle, donde $G$ actúa en un grupo abelian $A$. El Borel de contrucción es el cociente $$ P\times_G A = P\times A \;/ \sim $$ donde la relación de equivalencia $\sim$ está definido por $(p,a) \sim (pg, g^{-1}a) $$g\in G$.

El mapa de $q:P\times_G A \to B$ $q([p,a]) = p(p)$ da un haz de fibras con fibra de $A$.

Answer 1

Yo creo que puede proceder de la siguiente manera :

Que nos llame a $p : E \to B$ el local coeffiscient sistema, y deje $x$ ser un punto en $B$ también Vamos a llamar a $\varphi : \pi_B \to \mbox{Aut}(A)$ el holonomy homomorphism. Cada elección de un punto de $a\in p^{-1}(x)$ determina una sub-cobertura en $E$, por lo que el $a$ $b$ viven en el mismo sub-cubre si y sólo si están relacionados con un elemento de $\pi_1B$. Así que cada uno de estos sub-ha revestimientos de fibra de $\mbox{Im} (\varphi) \cong \pi_1B/\ker \varphi$, $\pi_1B$ que actúa sobre el mundial que cubre como sería de esperar, por lo que todos ellos son isomorfos (a $\tilde{B}/\ker(\varphi)$). Además, hay obviamente $A/\pi_1B$ ($=A/\mbox{Im}(\varphi)$) copias de este paquete en $E$, por lo que el $E\cong \tilde{B}/\ker(\varphi) \times A/\mbox{Im}(\varphi)$.

Ahora \begin{align*}\tilde{B}\times_{\pi_1B}A = (\tilde{B}\times A)/\pi_1B &=((\tilde{B}\times A)/\ker(\varphi))/(\pi_1B/\ker(\varphi))\\ &=((\tilde{B}/\ker(\varphi))\times A)/(\pi_1B/\ker(\varphi))\end{align*} debido a la acción de $\ker(\varphi)$ $A$ es trivial (por definición). Para el último paso, elegir un $y\in p^{-1}(x)$, y definir el siguiente mapa : $$ ((\tilde{B}/\ker(\varphi))\times A)/(\pi_1B/\ker(\varphi)) \a \tilde{B}/\ker(\varphi) \times Un/\mbox{Im}(\varphi) \\ [([z],a)] \mapsto ([\tilde{z}],[a]) $$ donde $[ - ]$ es sinónimo de " clase de $-$' e $\tilde{z}$ denota cualquier elemento de la $\pi_1G$-órbita de $z$ que está en la misma sub-paquete como $y$. El $\tilde{z}$ están relacionados con un elemento de $\ker(\varphi)$, por lo que este mapa está bien definido, se puede calcular una inversa, por lo que es bijective, y uno puede comprobar que es un paquete de fibra de morfismos.

Espero que esto ayudó, y no era demasiado complicado.