La reflexividad del producto $L^p(I)\times L^p(I)$

Question

Estoy empezando a leer sobre los espacios de Sobolev $W^{1,p}(I),$ donde $I$ es un intervalo abierto en $\mathbb{R}.$
Para establecer la reflexividad de $W^{1,p}(I)$ para $p\in ]1,\infty[,$ Necesito la reflexividad de $L^p(I)\times L^p(I).$

Mi pregunta es: ¿cómo derivar la reflexividad de $L^p(I)\times L^p(I)$ partiendo de la reflexividad de $L^p(I)?$

Answer 1

Hay muchas normas que se pueden poner en el producto $X \times Y$ de dos espacios de Banach. Los más comunes son el $\ell^p$ -suma de normas que da como resultado el espacio $X \mathbin{\oplus_p} Y$ . Para $1 \leq p \leq \infty$ son dadas por $$ \lVert (x,y) \rVert_p = \left( \lVert x\rVert^p + \lVert y\rVert^p \right)^{1/p}, \quad \text{and} \quad \lVert (x,y) \rVert_\infty = \max\{\lVert x \rVert, \lVert y\rVert\} $$ Desde $$ \lVert (x,y) \rVert_\infty \leq \lVert (x,y) \rVert_p \leq \lVert (x,y) \rVert_1 \leq 2\lVert (x,y) \rVert_\infty $$ vemos que todos los $\ell^p$ -las normas de suma son equivalentes.

Como en la dualidad entre $\ell^p$ y $\ell^q$ utilizando la desigualdad de Hölder, se demuestra que $(X \mathbin{\oplus_p} Y)^\ast = X^\ast \mathbin{\oplus_q} Y^\ast$ siempre que $\frac1p+\frac1q = 1$ .

Dada la identificación $(X \mathbin{\oplus_p} Y)^\ast = X^\ast \mathbin{\oplus_q} Y^\ast$ se puede comprobar que las inclusiones canónicas $\iota_{X}\colon X \to X^{\ast\ast}$ y $\iota_Y\colon Y \to Y^{\ast\ast}$ dar un mapa $$ X \mathbin{\oplus_p} Y \to X^{\ast\ast} \mathbin{\oplus_p} Y^{\ast\ast}, (x,y) \mapsto (\iota_X(x),\iota_Y(y)) $$ que coincide con la inclusión canónica $$ \iota_{X \mathbin{\oplus_p} Y}\colon X \mathbin{\oplus_p} Y \longrightarrow \left(X \mathbin{\oplus_p} Y\right)^{\ast\ast} = \left(X^\ast \mathbin{\oplus_{q}} Y^\ast\right)^{\ast} = X^{\ast\ast} \mathbin{\oplus_p} Y^{\ast\ast}.$$ De ello se deduce que $X \mathbin{\oplus_p} Y$ es reflexivo si y sólo si ambos $X$ y $Y$ son reflexivos.

Lo dejaré así por el momento, pero si necesitas más detalles, puedo añadirlos.