Escribo $P + v$ por la acción de los vectores $v$ sobre el punto de $P$.
Un espacio afín es, de hecho, probablemente la primera visualización que había de espacios vectoriales: por ejemplo, usted pensó en el plano completo de puntos, y que los vectores se flechas que van de un punto a otro.
El concepto de espacio afín sé que requiere de la acción de $V$ $X$ a ser transitivos y de los fieles: esto significa que, en un espacio afín, podemos definir la resta: $P - Q$ es el único vector de $v$ tal que $Q + v = P$. El par $(Q, v)$ puede ser representado como una flecha de $Q$$P$.
Incluso podemos definir casi arbitraria de las combinaciones lineales de los puntos: la restricción de que los coeficientes han de suma cero (lo que nos da un vector) o la suma de uno (lo que nos da un punto).
por ejemplo, si yo escribo $P + \frac{1}{2}Q - \frac{3}{2} R$, I "realmente" quiere decir que el vector
$$P + \frac{1}{2}Q - \frac{3}{2} R = (P - R) + \frac{1}{2} (Q - R)$$
o cualquier otro similar reordenamiento en "legal" de las operaciones. (todos dan la misma respuesta)
Del mismo modo, si escribo $\frac{1}{2}P + \frac{1}{3} Q + \frac{1}{6} R$, me refiero al punto de
$$ P + \frac{1}{3} \left(Q - P \right) + \frac{1}{6} \left(R - P \right) $$
Creo que he visto algunas de las definiciones de espacio afín de que no hacen referencia a los vectores: son lugar axiomatized en términos de la media aritmética de los puntos.
La noción de espacio vectorial es, de hecho, equivalente a la noción de un par que consta de un espacio afín y un punto en el espacio. Un espacio vectorial ya tiene la estructura de un espacio afín; sólo viene equipado con un distinguido punto de $0$. Por el contrario, dado cualquier espacio afín y una elección de un punto de $O$, podemos completar su estructura de espacio vectorial mediante el tratamiento de cada otro punto de $P$ como el vector $P - O$.
Al lado de pensamiento como vectores, combinaciones convexas (donde la suma de los coeficientes es uno y son todas positivas) puede ser pensado como un promedio entre los puntos. Por ejemplo,
- $\frac{1}{3} P + \frac{2}{3} Q$ es el punto sobre el segmento de línea $PQ$ que se encuentra a dos tercios del camino de $P$ $Q$
Se llaman combinaciones convexas, debido a la relación con los conjuntos convexos: cualquier combinación convexa de los puntos en un conjunto convexo es nuevo en el conjunto. De hecho, el casco convexo de un conjunto de puntos es precisamente el conjunto de todas las combinaciones convexas de los puntos.
por ejemplo, el conjunto de todos los puntos en el interior del triángulo $\Delta PQR$ son de la forma $aP + bQ + cR$ donde $a+b+c = 1$ $a,b,c$ son todas positivas. (si permitimos $a,b,c$ a ser cero, así, luego de este conjunto de puntos incluiría el triángulo en sí mismo)
Más general afín combinaciones (la suma de los coeficientes a uno) son similares:
- $2P - Q$ es el punto en la línea de $PQ$ que se encuentra en el otro lado de la $P$ $Q$ que es dos veces tan lejos de $Q$ es de $P$.
Todas las combinaciones convexas, de hecho, puede ser hecha de binarios: por ejemplo,
$$ \frac{1}{2} P + \frac{1}{3} Q + \frac{1}{6} R = \frac{5}{6} \left(\frac{3}{5} P + \frac{2}{5} Q \right) + \frac{1}{6} R $$
(¿cómo puedo encontrar esto? Deje $S$ ser este punto. Tomé puntos en el plano para $P$, $Q$, y $R$ y se encontró que la línea $RS$ se reunió con el segmento de $PQ$: ese punto es el punto que aparece en el paréntesis en el lado derecho)
Para las combinaciones lineales, sólo puede pretender que los puntos son los vectores. No importa cual elija en el plano afín como el origen, se obtendría el mismo resultado. por ejemplo, mi ejemplo anterior satisface
$$P + \frac{1}{2}Q - \frac{3}{2} R = (P - O) + \frac{1}{2} (Q-O) - \frac{3}{2} (R - O)$$
no importa qué punto usted elija para $O$.
