¿Por qué no $ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} xy\sin(\frac{1}{xy}) $ existen?

Question

He tratado de conseguir el siguiente límite:

$$ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} xy\sin\left(\frac{1}{xy}\right) $$

wolfram dice que no existe.

1. Cómo mostrar que?
2. ¿Por qué no puedo tomar $z=xy$ y reciba un límite conocido de una variable?

$$ \lim_{z\rightarrow0} z \sin\left(\frac{1}{z}\right) $$

Answer 1

1) El límite claramente existe desde $\sin$ es limitado y $xy\rightarrow 0$.

2) En este problema se puede. En un problema como $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x}{y}$ tiene problemas porque se parecen sugerir que es aceptar a escribir como $\lim_{z\rightarrow 0}\frac{z}{z}=1$ y que está mal. Para ver por qué está mal, $x/y$ puede ser arbitrariamente grande, si sigues $x$ fijo y hacer $y$ más pequeño.