Lo que hace una partícula de estado?

Question

Estoy tratando de comprender libre de partículas de los estados en la teoría cuántica de campos, pero estoy teniendo problemas con una cosa: ¿qué define exactamente una una partícula estado?

Por ejemplo, podemos definir un "avión de onda" como un impulso a la creación operador que actúa en el vacío: $a^{\dagger}_p|0\rangle$, y podemos escribir un "dos partícula 'de onda plana'" estado como dos diferentes, la creación de operadores: $a^{\dagger}_p a^{\dagger}_q |0 \rangle$. Podríamos continuar desarrollando tres, cuatro, etc. los estados con el mismo método.

Pero, ¿por qué es una partícula localizada estado no es un estado que contiene un número infinito de partículas? Es decir, representan un único, localizado de las partículas. Pero siguiendo la misma lógica anterior debe ser uncountably infinito de partículas es decir,

$$\int_{-\infty}^\infty \! \! dp \, \, e^{-px^2} a^{\dagger}_p \rvert 0 \rangle$$

o algo por el estilo. ¿Por qué esto es considerado como una partícula de estado y no de un estado de una colección de avión de onda de las partículas?

Answer 1

Depende, a grandes rasgos, en lo que es el operador que usted interpreta como el número de operador de la teoría. Es la costumbre de elegir a $N$ a medida que el operador tal que: un vector $\phi$ del espacio de Fock es en el $n$-partícula sector de la si $N\phi=n\phi$, es decir, si es un autovector de el operador número $N$ con autovalor $n\in\mathbb{N}$.

Una opción posible es $N=\int a^\dagger a$. Observe que el número de operador no es sólo $a^\dagger(\cdot)a(\cdot)$, pero la integración de este sobre la variable. Yo no soy la especificación de la variable, porque puede pensar de $a^{\#}(\cdot)$ como la creación/aniquilación de los operadores en la posición o el impulso de la representación, no importa (las dos representaciones de $N$ son unitarily equivalente, y relacionado por la transformada de Fourier).

Esta elección está relacionada con la teoría matemática de los espacios de Fock, y depende, en términos generales, a partir del hecho de que $a^\#(p)$ (o $a^\#(x)$) no son los operadores, pero sentido como un operador sólo cuando están integrados con un cuadrado integrable función, por ejemplo, $$a^{\dagger}(f)=\int_{-\infty}^\infty f(p) a^\dagger(p)dp$$ con $f(p)\in L^2$ es un operador en el espacio de Fock ($a^\#(p)$ son a menudo llamado el operador valores de las distribuciones). Usted superposición, por ejemplo, no es un vector del espacio de Fock, porque $e^{-px^2}$ no es cuadrado integrable w.r.t. $p$.

Verá que la opción anterior implica: $N\lvert 0\rangle=0$, y formalmente (es fácil ver el uso de la canónica de relaciones de conmutación): $$N\int_{-\infty}^\infty dp e^{-px^2}a_p^\dagger\lvert 0\rangle=\int_{-\infty}^\infty dp e^{-px^2}a_p^\dagger\lvert 0\rangle$$ Así que su "vector" (como me dijo que no pertenecen al espacio de Fock) tiene sólo una partícula (y el vacío de cero). También es fácil ver (de nuevo, con las relaciones de conmutación) que para cualquier $n\in\mathbb{N}$, $f\in L^2(\mathbb{R}^{n})$ el vector: $$\phi_n=\int f(p_1,\dotsc,p_n)a^\dagger(p_1)\dotsm a^\dagger(p_n)dp_1\dotsm dp_n\lvert 0\rangle$$ pertenece a la $n$-partícula en el subespacio, es decir,$N\phi_n=n\phi_n$.

Answer 2

Más o menos "localizada" de onda lleno de "consistir" de muchas ondas planas. Experimentalmente esto significa que la medición de la cantidad de movimiento de una partícula dar resultados con algunos de distribución de los impulsos. Tal estado no es una "colección" de muchas partículas con definitiva momenta, más bien, es una superposición de estados. En el experimento verá sólo una partícula a la vez.