Sé $\mathbb{Z}[i]$, los enteros de Gauss, es un PID. Por lo $I$ es generado por un solo elemento. Al principio pensé $I=(521)$, pero $521$ puede ser reducido a $11^2 + 20^2$. Sería $I=(11 + 20i)$ o $I=(20 + 11i)$, a continuación, ser el máximo ideal de la necesaria para alcanzar este isomorfismo? Necesito un poco de ayuda.
Respuesta
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GmonC
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Dado que el $211$ es primo, es suficiente para encontrar un elemento $\def\i{\mathbf i}z=a+b\i$ norma $a^2+b^2=211$, y, a continuación, $\def\Z{\Bbb Z}\Z[\i]/(z)$ va a ser isomorfo al campo $\Z/211\Z$. Como se explica en esta respuesta, esta no tiene el hecho de que $\Z[\i]$ es un director ideal de dominio. La Onr erasons simplemente que
- $(z)$ contiene $z\overline z=a^2+b^2=211$, pero no $1$, lo $\Z[\i]/(z)$ contiene $\Z/211\Z$ como sub-anillo;
- el uso de Bezout coeficientes (en $\Z$) $(a,b)$ uno encuentra un elemento de la forma $c+\i\in(z)$;
- así que cada elemento de a $\Z[\i]$ es congruente modulo$~(z)$ algunos $k\in\Z$, mostrando que el sub-anillo es de hecho todos los de $\Z[\i]/(z)$.
Y su pregunta ya indica dos no asociadas a los elementos de la norma $211$ (y en el hecho de que es todo lo que uno puede encontrar), así que tienes dos diferentes válido candidatos para el ideal $I$. Uno puede demostrar que no son sólo dos de esos ideales (en contraposición a los elementos de la norma$~211$) mostrando que el anillo de $\Z[\i]/(211)\cong(\Z/211\Z)[X]/(X^2+1)$ es un producto de dos campos, por lo que tiene exactamente dos máximos ideales.
