La regla de L'Hôpital y los cocientes de diferencia

Question

Considere el cociente de diferencia general para una función $f(x)$ que es diferenciable en $x = a$ :

$$f'(a) = \lim_ {x \to a} \frac {f(x) - f(a)}{x - a}$$

Dado que tanto el numerador como el denominador del cociente de diferencia son diferenciables y se acercan al 0, parece que deberíamos ser capaces de aplicar la regla de l'Hospital, diferenciando con respecto a $x$ :

\begin {alinear} f'(a) & = \lim_ {x \to a} \, \frac {f(x) - f(a)} {x - a} \\ & = \lim_ {x \to a}, f'(x), \text { dado que arreglamos $a$ y han asumido $f$ es diferenciable} \end {alinear}

Pero esto parece implicar que $f'(x)$ es continuo o $f(x)$ es continuamente diferenciable en $x = a$ .

No entiendo de dónde viene esta condición adicional: sospecho que el problema puede estar en la aplicación de la regla de l'Hospital (¿tal vez es circular?). Pero para usar la regla del Hospital y saber que el límite existe, fue suficiente asumir $f(x)$ era diferenciable en $x = a$ . En ningún lugar tuvimos que asumir que la función fuera continuamente diferenciable.

Debo estar pasando por alto algún pequeño detalle, pero no puedo poner mi dedo en la llaga. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Este es un caso muy bonito que nos muestra lo importante que son las suposiciones. En el teorema de De l'Hospital, debemos suponer que tanto el numerador como el denominador son diferenciables en una vecindad de $a$ Esto es mucho más que asumir la diferenciabilidad en $a$ . Pero lo que es aún más importante, es que este teorema afirma que SI $$ \lim_{x\to a} f'(x) \quad\text{exists} $$ Entonces también $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \quad\text{exists and has the same value}. $$ En otras palabras, el teorema de De l'Hospital sólo se aplica si $f'$ es una función continua en $a$ . No debería sorprendernos, ya que el teorema de De l'Hospital no puede ser tan fuerte como la propia definición de derivada.