Forzamiento iterado, para forzar $2^{\omega}=\kappa$ y $2^{\omega _1}=\lambda$

Question

Hola, estoy atascado en algunos detalles de este ejercicio de forzamiento iterado.

Dejemos que $M$ sea un modelo transitivo contable de $ZFC+GCH$ y asumir que $\kappa<\lambda$ son cardenales con $\aleph _0 <cof(\kappa)$ y $\aleph _1<cof(\lambda)$ . ahora necesito forzar eso $2^{\omega}=\kappa$ y $2^{\omega _1}=\lambda$ y que todos los cardenales se conservan.

Así que definí $P_1=Fn(\kappa\times\omega,2,\omega)\wedge P_2=Fn(\lambda\times\omega_1,2,\omega_1)$ y sé que $P_1$ fuerza $2^{\omega}=\kappa$ y $P_2$ fuerza $2^{\omega _1}=\lambda$ . y luego $P=P_2\times P_1$ y dejamos que $G$ ser un $P$ -Filtro genérico sobre $M$ y sabemos que $G=G_2\times G_1$ para $G_2$ - a $P_2$ filtro genérico sobre $M$ y $G_1$ a $P_1$ filtro genérico sobre $M[G_2]$ .

Ahora sé que $Fn(\kappa\times\omega,2,\omega)^{M[G_2]}=Fn(\kappa\times\omega,2,\omega)^{M}$ ¿significa eso que forzar con $G_1$ por encima de $M[G_2]$ preserva las cardinalidades? ya que $P_1$ tiene el $c.c.c$ y $2^{{\omega}}$ -encerrado $M$ por lo que todavía lo tiene en $M[G]$ ¿Es eso cierto?

porque si es verdad ya sé cómo terminarlo desde ahí.

gracias

Answer 1

Puede mostrar $P_1 \times P_2$ es que preserva todos los cardenales. En primer lugar, observe que, dado que se trata de un forzamiento de productos (ambos posets están en el modelo de tierra), $M[G_1][G_2] = M[G_2][G_1]$ . Para mostrar la conservación de los cardenales, es más fácil trabajar con $P_2 \times P_1$ .

$(2^{<\aleph_1})^{M} = \aleph_1$ desde $M$ satisfacer el GCH. Por lo tanto, $P_2$ tiene el $\aleph_2$ -c.c. $P_2$ preservar todos los cardenales en y por encima de $\aleph_2$ . Obviamente $P_2$ es $(<\aleph_1)$ -cerrado; por lo tanto, $\aleph_1$ se conserva. Así que $P_2$ conserva todos los cardenales. $P_1^M = P_1^{M[G]}$ ya que ambos modelos tienen las mismas funciones parciales finitas. $P_1$ tiene el c.c.c. en $M[G_2]$ Así que $P_1$ conserva todos los cardenales. Por lo tanto, $M[G_2][G_1] = M[G_1][G_2]$ conserva todos los cardenales.

Ahora a calcular exponenciales. Esta vez es más fácil trabajar con $P_1 \times P_2$ en lugar de $P_2 \times P_1$ . Está claro que $(2^{\aleph_0})^{M[G_1]} \geq \kappa$ . $(2^{\kappa})^{M[G_1]} \leq ((|\kappa \times \omega|^{<\aleph_0})^{\aleph_0})^M = \kappa$ utilizando GCH y el hecho de que $\aleph_0 < \text{cof}(\kappa)$ . Desde $P_2$ es $(<\aleph_1)$ -cerrado, no añade nuevos subconjuntos de $\omega$ Así que $(2^{\aleph_0})^{M[G_1][G_2]} = (2^{\aleph_0})^{M[G_1]} = \kappa$ . Por último, está claro que $(2^{\omega_1})^{M[G_1][G_2]} \geq \lambda$ . Con un argumento similar al anterior, has demostrado que debe ser $\lambda$ . (Creo que puede necesitar eso $\text{cof}(\lambda) > \aleph_1$ .)