Estaba leyendo sobre prueba de pre-cálculo de Arquímedes del volumen de la esfera y me di cuenta que el truco utiliza (volumen del hemisferio + volumen del cono = volumen del cilindro) no generalizar a hyperspheres, así que me preguntaba si hay alguna manera de probar el volumen de una hiperesfera es $\frac{π^2}{2}R^4$ con métodos clásicos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Su solución, publicado en el vínculo dado que es tan bonito que merece la pena venir vivo aquí.
Considerar cuatro dimensiones de la bola de radio $R$: $$B:=\bigl\{(x,y,u,v)\>\bigm|\>x^2+y^2+u^2+v^2\leq R^2\bigr\}\ ,$$ y, al mismo tiempo, una de cuatro dimensiones dicone $$C:=\bigl\{(x,y,u,v)\>\bigm|\>u^2+v^2\leq x^2+y^2\leq R^2\bigr\}\ .$$ Debido a la simetría de la dicone $C$ es sólo la mitad de la dicylinder $$Z:=\bigl\{(x,y,u,v)\>\bigm|\>u^2+v^2\leq R^2, \ x^2+y^2\leq R^2\bigr\}\ ,$$ así que $${\rm vol}_4(C)={1\over2}{\rm vol}_4(Z)\ .\tag{1}$$ Ahora viene Arquímedes. La siguiente figura muestra las proyecciones de los tres cuerpos en el $(x,y)$-plano colocados uno al lado del otro:
Si hemos de erigir una de dos dimensiones "acechar" a $(x,y)\in B'$ este tallo se cruzan $B$ $(u,v)$- disco $$\bigl\{(u,v)\>\bigm|\>u^2+v^2\leq R^2-x^2-y^2\bigr\}$$ de área $\pi(R^2-x^2-y^2)$, y el tallo se erige en $(x,y)\in C'$ se cruzan $C$ $(u,v)$- disco $$\bigl\{(u,v)\>\bigm|\>u^2+v^2\leq x^2+y^2\bigr\}$$ de área $\pi(x^2+y^2)$. La suma de estas dos áreas es $=\pi R^2$ todos los $(x,y)$, y es igual al área que ese tallo se corta de $Z$. Por el principio de Cavalieri por lo tanto, se puede concluir que $${\rm vol}_4(B)+{\rm vol}_4(C)={\rm vol}_4(Z)\ .$$ Junto con $(1)$ se sigue que $${\rm vol}_4(B)={1\over2}{\rm vol}_4(Z)={\pi^2\over2}R^4\ .$$
