Cómo demostrar: $\cos (\theta + 90^\circ) \equiv - \sin \theta $

Question

¿Cómo puedo probar esto? Sé que un método es:

\eqalign ${\cos (90 ^ \circ + \theta) & \equiv \cos90^\circ \cos\theta - \sin90^\circ \sin\theta \cr & \equiv (0) (\cos\theta) - (1)(\sin \theta) \cr & \equiv - \sin \theta \cr} $

Le agradeceria otros, particularmente los que me permiten visualizar esta identidad en el círculo unitario.

Muchas gracias.

Answer 1

Me gustaría apreciar a los demás, en particular de aquellos que me permita visualizar esta identidad en el círculo unidad.

La imagen representa el trigonométricas círculo unidad. El ángulo de $\theta=\angle AOP$ está representado en el primer cuadrante, pero es un genérico orientar el ángulo de. $|AP|=\sin\theta$. $\angle AOQ=\theta+90^\circ$. El derecho triángulo $[O,A,P]$ es similar a la de la derecha, triángulo $[O,B,Q]$, debido a $\angle BQO=\angle AOP=\theta$. Desde $|OP|=|OQ|=1$, ambos triángulos son congruentes y $$\cos(\theta+90^\circ)=-|OB|=-|AP|=-\sin\theta.$$

Answer 2

El punto de $P$ sobre el círculo unitario correspondiente a$\theta$$\langle\cos\theta,\sin\theta\rangle$. Supongamos por un momento que $P$ no está en cualquiera de los ejes de coordenadas; entonces es en la línea de $y=(\tan\theta)x=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x$.

El punto de $Q$ correspondiente a $\theta+\frac{\pi}2$ está en la línea perpendicular que pasa por el origen, cuya pendiente es $-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Pero $Q$ es también el punto de $\left\langle\cos\left(\theta+\frac{\pi}2\right),\sin\left(\theta+\frac{\pi}2\right)\right\rangle$, por lo que

$$\frac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}2\right)}{\cos\left(\theta+\frac{\pi}2\right)}=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\;.\tag{1}$$

Los dos lados de $(1)$ son evidentemente las dos raíces cuadradas de $\cot^2\theta$, y que tiene la propiedad adicional de que las plazas de numerador y el denominador de la suma a $1$, por lo que deben ser idénticos, excepto por el signo. Por lo tanto, cualquiera

$$\cos\left(\theta+\frac{\pi}2\right)=\sin\theta\quad\text{and}\quad\sin\left(\theta+\frac{\pi}2\right)=-\cos\theta\;,$$

o

$$\cos\left(\theta+\frac{\pi}2\right)=-\sin\theta\quad\text{and}\quad\sin\left(\theta+\frac{\pi}2\right)=\cos\theta\;,$$

y la consideración de los cuadrantes reglas de la ex. En el caso en que $P$ está en un eje de coordenadas es fácilmente manejado por separado.

Answer 3

Recuerda que el seno y coseno son co-funciones, lo que significa que están conectados a través de ángulos complementarios (esto es evidente para $\newcommand{\dg}{^\circ} 0\dg \le \theta \le 90\dg$ de la geometría de un triángulo rectángulo). $$\begin{align} \cos \theta &= \sin(90\dg - \theta)\\ \sin \theta &= \cos(90\dg - \theta) \end {Alinee el} $$

Ahora, el seno es una función impar, lo que significa que el %#% $ #%

Poniendo éstos juntos:

$$ \cos(\theta + 90\dg) = \cos (90\dg - (-\theta)) = \sin(-\theta) = - \sin\theta. $$

Answer 4

Usando fórmula de Euler tenemos: $$\cos(90 + \theta) = \cos (\pi/2 + \theta) = \frac{e^{i(\pi/2 + \theta)}+e^{-i(\pi/2 + \theta)}}{2} = \frac{e^{i\theta} e^{i\pi/2}+e^{-i\theta} e^{-i\pi/2}}{2} = \frac{ie^{i\theta} - ie^{-i\theta}}{2} = -\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = -\sin(\theta) $ $

Answer 5

$\sin$ es la posición vertical. $\cos$ es la posición horizontal. Si agrega 90% ángulo $\theta$, que equivale a girar el sistema de coordenadas 90 °: los ejes cambiar lugares.