Necesito demostrar que el número $\sqrt 2+ \sqrt[3]{3}+\sqrt[4]{4}+\sqrt[5]{5}+...+\sqrt[n]{n}$ es irracional para cualquier n, y no tengo ni idea de cómo podría demostrarlo. ¡Gracias!
Respuesta
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Dejemos que $n\gt 2$ . Por el postulado de Bertrand, que es un teorema desde hace mucho tiempo, existe un primo $p$ que es mayor que $n/2$ y $\le n$ . Si nuestra suma es racional, entonces $\sqrt[p]{p}$ es un elemento de $\mathbb{Q}$ con el resto de la $\sqrt[k]{k}$ añadido. Llame a este campo $F$ .
Tenga en cuenta que ninguno de estos $k$ es divisible por $p$ . Así que el grado de $F$ en $\mathbb{Q}$ no es divisible por $p$ . Pero el grado de $\sqrt[p]{p}$ en $\mathbb{Q}$ es $p$ , ya que $x^p-p$ es irreducible sobre los racionales. De ello se desprende que $\sqrt[p]{p}$ no puede ser un elemento de $F$ .
