¿Qué es la continuidad de la Dini?

Question

¿Qué continuidad de Dini (la condición integral) significa visualmente?

Descripción de Dini contuity:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_continuity

Answer 1

Inicio con esta visualización de la continuidad Lipschitz por A. di M.:

A medida que desliza el enfoque de la verde superposición a lo largo de la gráfica de la función, el resto de la gráfica se mantiene dentro de la zona verde. La condición de Lipschitz dice que el módulo de continuidad está limitada por una función lineal, así que usted puede utilizar una zona verde con lados rectos.

La condición de Hölder dice que el módulo de continuidad está limitada por una ley de potencia como $\sqrt t$, así que usted puede utilizar un área con lados curvos que se convierten en vertical en donde se encuentran en el foco. Esta condición es más fácil de satisfacer la condición de Lipschitz, debido a que la zona verde es más grande.

La Dini condición permite que ciertos módulos de continuidad que son incluso más cerca de la vertical de una ley de potencia, tales como $(\log t)^{-2}$. Así, en la imagen, se puede imaginar un muy fuerte pellizco en el medio.

Answer 2

La Dini condición no tiene ninguna caracterización completa porque no hay ningún caso límite de $\omega$ donde la integral converge. Esta condición surge de la Dini para el criterio de convergencia de la serie de Fourier $S_{f}(x)$ de una función de $f$$x$. Usted puede escribir a la diferencia entre la serie de Fourier truncada $S_{f}^{N}(x)$ $f$ $[-\pi,\pi]$ y un potencial límite de $L$ $$S_{f}^{N}(x)-L = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{f(\theta+\theta')+f(\theta-\theta')-2L}{\sin((\theta-\theta')/2)}\sin((N+\frac{1}{2})(\theta-\theta'))d\theta'.$$ Si $\theta$ es fijo e $\theta'=\theta+h$, luego $$\frac{f(\theta+\theta')+f(\theta\theta')-2L}{\theta\theta'}$$ tiene la forma $\omega(h)/h$. Si esto es absolutamente integrable en un barrio de $0$, entonces el de Riemann-Lebesgue lema da $\lim_{N} (S_{f}^{N}(x)-L)=0$, lo que significa que la serie de Fourier para $f$ converge a$L$$\theta$.