¿Qué es un ideal proyectivo?

Question

He estado buscando la definición de ideal proyectivo, pero no has encontrado nada, todo lo que he visto es la definición de módulo proyectivo (pero no sé cómo estos se relacionan, si son ¿?). ¿Alguien sabe de un libro donde puedo consultar información básica sobre ideales proyectivas?

Answer 1

No sé de ningún otro significado de un proyectiva ideal distinto al sugerido por Boris Novikov, es decir, un ideal de un anillo de $R$ que es también proyectiva como un $R$-módulo. Quiero enfatizar que este ideal $I$ NO se necesita ser un sumando directo de $R$ (Boris nunca implícita de que la condición sea necesario - sólo suficiente!) así como dar más ejemplos.

Los ejemplos obvios de que son los principales ideales de una conmutativa de dominio son proyectivos por el hecho de estar libre de rango uno.

Otro conjunto de proyectiva ideales que viene a la mente son los ideales de anillos de enteros de un campo de número. Si $K$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$, e $R={\cal O}_K$ su anillo de enteros, entonces todos los ideales de a $R$ es proyectiva. Esto es debido a que el anillo es un dominio de Dedekind. Cuando el ideal no es el principal, no es isomorfo a $R$ como un módulo. Por ejemplo, si $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ es el anillo de enteros del campo $\mathbb{Q}[\sqrt{-5}]$, entonces el primer ideal $P$ generado por los elementos de a $2$ $1+\sqrt{-5}$ es un sumando directo de $R^2$. Es fácil comprobar que para todos los $x\in P$ tenemos $x(1-\sqrt{-5})/2\in R$. Por lo tanto, tenemos bien definido monomorphism $s: P\to R^2, x\mapsto (-x,x(1-\sqrt{-5})/2)$. Es fácil comprobar que este se divide el obvio epimorphism $p:R^2\to P, (r_1,r_2)\mapsto 2r_1+(1+\sqrt{-5}) r_2$ por otro banal de cálculo.

Sin embargo, otro conjunto de ejemplos se compone de la Wedderburn componentes de un complejo grupo de álgebra $R=\mathbb{C}[G]$ de un grupo finito $G$. Estos son los isotypic componentes de la (a la izquierda) módulo normal, y sirven como ejemplos de Boris más régimen general.

Answer 2

Un ideal proyectivo (izquierdo) es simplemente un proyectivo submódulo del módulo regular ${}_RR$ (es decir, el % de anillo $R$considerada como un izquierda $R$-módulo). Así que si ${}_RR$ se puede descomponer en una suma directa, cada sumando es un ideal proyectivo.