¿Es cualquier cociente de un dominio euclidiano por un primer ideal de un dominio euclidiano?

Question

Deje $R$ ser un dominio Euclídeo, es decir, un anillo con una norma $N : R \rightarrow \mathbb N$ tal que para cualquier $a,b\in R$$b\not=0$, podemos escribir $a = qb + r$ algunos $q,r \in R$$N(r) < N(b)$. Deje $I$ ser un primer ideal de $R$, lo $R/I$ es un dominio. Debe $R/I$, en realidad, un dominio Euclídeo?

Sé que esto es cierto si reemplazamos "Euclidiana de dominio" con "PID", y "false" si vamos a reemplazar con "UFD", por lo que no hay una clara intuición de ser adquirida a partir de conceptos similares. Mis primeros intentos en una prueba fue a pedir prestado a la construcción de análisis y definir una norma en $R/I$ por

$N(a + I) = \inf\{N(a+i) : i\in I\}$

pero esto en realidad no me lleve a nada.

Así, este hecho verdadero? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Si no, ¿cuál es un contraejemplo?

Answer 1

Lo es, pero por tontas razones.

En un dominio Euclídeo, cada distinto de cero el primer ideal es máxima: para el si $(p)$ es un alojamiento ideal, y $(p)\subseteq (q)$,$q|p$. Por lo tanto, $p=qx$ algunos $x$. Desde $p$ es primo, $p|q$ $(p)=(q)$ (desde $p$ $q$ son asociados) o $p|x$, en cuyo caso $q$ es una unidad y $(q)=R$.

Puesto que cada valor distinto de cero el primer ideal es máxima, si $I$ es un alojamiento ideal, a continuación, usted tiene cualquiera de las $R/I\cong R$, por lo que el cociente es la Euclídea; o usted tiene que $R/I$ es un campo, en cuyo caso es un dominio Euclídeo con el trivial de la norma mapa que envía cada elemento distinto de cero a $1$.