problema en una función que es idénticamente cero

Question

Que $f:[0,\pi] \to \mathbb{R}$ ser una función continua tal que $f(0)=0$.

¿Si $$ \int_0^\pi f (t) \cos nt\, dt = 0 es de $$ % todo $n \in \mathbb{N} \cup \{0 \}$, $f$ idénticamente cero?

Answer 1

El Núcleo De Fejér

ElFejér Núcleo se define como $$ \begin{align} F_n(x) &=\frac1{2\pi}\sum_{|k|\lt n}\left(1-\frac{|k|}{n}\right)\cos(kx)\tag{1}\\ &=\frac{\sin^2(nx/2)}{2\pi n\sin^2(x/2)}\tag{2} \end{align} $$ Fórmula $(1)$ garantiza que $$ \int_{-\pi}^\pi F_n(x)\,\mathrm{d}x=1\etiqueta{3} $$ y la fórmula $(2)$ dice que $$ F_n(x)\ge0\etiqueta{4} $$ Para $x\in[0,\pi]$, $\sin(x/2)\ge\dfrac{x}\pi$. Por lo tanto, si $x\in\left.\left[-\pi,\pi\vphantom{n^{1/3}}\right]\middle\backslash\left[-n^{-1/3},n^{-1/3}\right]\right.$, $(2)$ dice $$ F_n(x)\le\frac{\pi}2n^{-1/3}\etiqueta{5} $$ Además, $(3)$, $(4)$, y $(5)$ implica que $$ \int_{-n^{-1/3}}^{n^{-1/3}}F_n(x)\,\mathrm{d}x\ge1-\pi^2n^{-1/3}\etiqueta{6} $$

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Dos Núcleos De Hacer Una General (Respuesta)

Supongamos que $f$ es continua en a$[0,\pi]$, y para todos los $k\ge0$, $$ \int_0^\pi f(x)\cos(kx)\,\mathrm{d}x=0\etiqueta{7} $$ Desde $f$ es continua en un conjunto compacto, debe ser limitada; decir $|f(x)|\le M$. Supongamos que para algunos $x_0\in(0,\pi)$, $f(x_0)\ne0$. Desde $f$ es continua, no debe ser un $\delta\gt0$, de modo que si $|x-x_0|\le\delta$, $|f(x)-f(x_0)|\le |f(x_0)|/2$.

Podemos suponer que $\delta\le\min(x_0,\pi-x_0)$, de modo que $[x_0-\delta,x_0+\delta]\subset[0,\pi]$.

Considere la posibilidad de $$ F_n(x+x_0)+F_n(x-x_0) =\frac1{2\pi}\sum_{|k|\lt n}\left(1-\frac{|k|}{n}\right)2\cos(kx)\cos(kx_0)\etiqueta{8} $$ Ecuaciones $(7)$ $(8)$ implica que para todos los $n\gt0$ $$ \int_0^\pi f(x)\big[F_n(x+x_0)+F_n(x-x_0)\big]\,\mathrm{d}x=0\etiqueta{9} $$ Elija cualquier $n\ge\delta^{-3}$, $(5)$ dice $$ \left|\int_0^\pi f(x)F(x+x_0)\,\mathrm{d}x\right| \le\frac{\pi^2}2Mn^{-1/3}\etiqueta{10} $$ y $$ \left|\int_{[0,\pi]\setminus[x_0-\delta,x_0+\delta]}f(x)F_n(x-x_0)\,\mathrm{d}x\right| \le\frac{\pi^2}2Mn^{-1/3}\etiqueta{11} $$ Ahora $(6)$ implica $$ \left|\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)F_n(x-x_0)\,\mathrm{d}x\right| \ge\left|\frac{f(x_0)}{2}\right|(1-\pi^2n^{-1/3})\etiqueta{12} $$ Sin embargo, $(9)$, $(10)$, $(11)$, y $(12)$ implica que para todos los $n\ge\delta^{-3}$, $$ \begin{align} 0 &=\left|\int_0^\pi f(x)\big[F_n(x+x_0)+F_n(x-x_0)\big]\,\mathrm{d}x\right|\\ &\ge\left|\frac{f(x_0)}{2}\right|-\pi^2n^{-1/3}\left[\left|\frac{f(x_0)}{2}\right|+M\right]\tag{13} \end{align} $$ La desigualdad de $(13)$ dice que para todos los $n\gt\max\left(\pi^6,\delta^{-1/3}\right)$, $$ |f(x_0)|\le M\frac{2\pi^2}{n^{1/3}-\pi^2}\etiqueta{14} $$ La desigualdad de $(14)$ sólo puede ser verdad si $f(x_0)=0$. Por lo tanto, nuestra hipótesis de que $f(x_0)\ne0$ debe ser falsa y por lo $f(x)=0$ todos los $x\in[0,\pi]$.

Answer 2

Suponga que $f$ es continua en a$[0,\pi]$$\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx=0$$n=0,1,2,3,\cdots$.

Definir una nueva función $f_{e}$ por primera ampliación de $f$ a una función par en $[-\pi,\pi]$, y, a continuación, ampliando periódicamente a todos los de $\mathbb{R}$ periodo $2\pi$. Esta nueva función es continua en todas partes en $\mathbb{R}$ periodo $2\pi$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \int_{0}^{2\pi}f_{e}(x)\cos nx\,dx & = \int_{-\pi}^{\pi}f_{e}(x)\cos nx\,dx \\ & = 2\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx = 0,\;\;\; n=0,1,2,3,\cdots\;. \end{align} $$ Y, debido a $f_{e}$ es regular y periódica con período de $2\pi$, $$ \int_{0}^{2\pi}f_{e}(x)\sen nx \;dx =\int_{-\pi}^{\pi}f_{e}(x)\sen nx\,dx = 0,\;\;\; n =1,2,3,\cdots\;. $$ Por lo tanto, el ordinario de la serie de Fourier para $f_{e}$ $[0,2\pi]$ es visto ahora como $0$. Estoy asumiendo que tener un teorema que cubre este caso de las ordinarias series de Fourier. Sin embargo, si sólo se tiene el teorema para funciones diferenciables, leído en ...

Añadida a causa de las nota: Si sólo tiene un teorema de tratar continuamente con funciones diferenciables, entonces vamos a $g(x)=\int_{0}^{x}f_{e}(t)\,dx$. Observe que $g$ es continuamente diferenciable, $g'=f_{e}$, e $g(0)=g(2\pi)=0$ porque $\int_{0}^{2\pi}f_{e}(t)\,dt=0$. La serie de Fourier para $g$ sólo tiene un término constante porque $$ \begin{align} \int_{0}^{2\pi}g(x)\cos(nx)\,dx & = \left.g(x)\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{2\pi}-\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}g'(x)\sin(nx)\,dx \\ & = -\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}f_{e}(x)\sin(nx) = 0,\;\;\; n=1,2,3,\cdots, \\ \int_{0}^{2\pi}g(x)\sin(nx)\,dx & = -\left.g(x)\frac{\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{2\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}g'(x)\cos(nx)\,dx \\ & = \frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi}f_{e}(x)\cos(nx) = 0,\;\;\; n=1,2,3,\cdots,\\ \end{align} $$ Tenemos la garantía de que la serie de Fourier para $g$ converge pointwise en todas partes a $g$ y, por lo tanto, $g$ es idéntica constante. Por eso, $f_{e}=g'$ es idéntica $0$.