Gráfico de compuesto seno y función coseno

Question

Estaba jugando con una calculadora gráfica y me di cuenta si se aplican repetidamente senos y cosenos de esta manera:

$$\sin(\cos(...{\sin (\cos{(\sin(x)}))))}$$

su gráfico se aplana. ¿Por qué es esto así?

Answer 1

Hay una idea importante en el análisis funcional se llama una contracción del mapa. Una contracción mapa es una función de $f$ tal que existe un número positivo $a<1$ tal que para cualesquiera dos puntos distintos $x$ y $y$, $$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|<a.$$ If $f$ is differentiable, then you can think of this as the slope of $f$ is always less than $a$, which is in turn less than $1$. The importance of contraction maps comes from the fact that we re guaranteed the existence of a unique fixed point $x$ such that $f(x)=x$. Moreover, starting from any point $y$, the sequence $\{f(y),f(f(y)),f(f(f(y))),...\}$ converges to $x$. So if $\cos(\sin(x))$ is a contraction map, then it makes sense that repeatedly applying this function would pull all points close to the unique fixed point, making the graph almost constant. To see that $\cos(\sin(x))$ es una contracción mapa, nos tomamos la derivada: $$\frac{d}{dx}\cos(\sin(x))=-\sin(sin(x))\cos(x).$$ A pesar de que no es una prueba de un rápido vistazo a la gráfica de la derivada debería ser suficiente para convencerte de que el valor absoluto de la derivada es menor que $.5$. El valor medio teorema nos da que su función es una contracción del mapa.

Answer 2

Si usted elige una función de $f(x)$ como: $$ f(x)=\sin(\cos(x))) $$ Entonces el problema que se propone usted puede reducirse a considerar una secuencia iterativa de la forma: $$ a_n = f(a_{n-1}) $$ Y, finalmente, pregunte: $$ \lim_{n\to\infty} a_n = L? $$ Puede resolver esto, sin pérdida de generalidad para cualquier función, a través de la siguiente ecuación: $$ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \ell $$

Donde el valor de $\ell$ puede tomar de 3 casos generales:

1. $\ell > 1 \quad\Rightarrow\quad a_{n+1} > a_{n}$ (el "nuevo" punto de $a_{n+1}$ "se mueve de forma más positiva" de $a_n$).
2. $\ell < 1 \quad\Rightarrow\quad a_{n+1} < a_{n}$ (el "nuevo" punto de $a_{n+1}$ "se mueve de forma más negativa" de $a_n$).
3. $\ell = 1 \quad\Rightarrow\quad a_{n+1} = a_{n}$ (el punto de "no mover en cualquier lugar").

Por lo tanto, todo depende del valor que adquiere $\ell$ y cómo es el comportamiento de cada una de las $a_{n+1}$ (comportamiento de $f(x)$ evaluado en $a_n$) de cada una de las $a_n$, respectivamente. Así, se puede calcular la "puntos que no se mueven en cualquier lugar" al $\ell$ satisface la ecuación: $$ \ell = 1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{f(a_n)}{a_n} = 1 \quad \Rightarrow \quad f(a_n) = a_n $$

Tenga en cuenta que esto es lo que otros usuarios nombrado como punto fijo. En el caso de que el problema propuesto en el punto fijo es $x = 0.69482...$

Sin embargo, es importante recordar que el hecho de que $f(x)$ tiene un punto fijo, no significa necesariamente que la secuencia iterativa $a_n = f(a_{n-1})$ deben converger al punto fijo de cualquier $a_{0}\in\mathbb{R}$ (que es lo que se puede ver en su calculadora gráfica).

Una manera de asegurarse de que la secuencia iterativa convergen en el punto fijo de cualquier valor $a_0\in\mathbb{R}$, es para asegurarse de que la secuencia $a_1,a_2,a_3,...$ toma cada vez más cerca del punto fijo. Tenga en cuenta que no importa si la secuencia se aproxima de un modo más positivo o más negativo de valor, o incluso si usted está "saltando" alrededor del punto fijo (como tu caso); Lo que importa es que se acerca desde cualquier $a_0\in\mathbb{R}$.

Este concepto se extiende a los números complejos es intuitivamente lo que se conoce como "una contracción del mapa". (ver imagen abajo).

Idea intuitiva de una Contracción Mapa de T(x) sobre un valor x

En este punto, usted puede reanudar la de Alex de la respuesta.