$n$ es un entero positivo. $$f_n(x)^n+\left(\frac{df_n(x)}{dx}\right)^n=1$$
$f_n(0)=0$, $f_n'(0)=1$
Estoy buscando la formula de sumar de a $f_n(x+y)$ en forma cerrada.
si $n=1$
$$f_1(x)=1-e^{-x}=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+....$$
y
$f_1(x+y)=f_1(x)+f_1(y)-f_1(x)f_1(y)$
si $n=2$
$$f_2(x)=\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+....$$ y
sabemos que $$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)=\sin(x)\sin'(y)+\sin(y)\sin'(x) $$
por lo tanto $f_2(x+y)=f_2(x)f_2'(y)+f_2(y)f_2'(x)$
Mis intentos para resolver el problema:
$$f_n(x)^n+\left(\frac{df_n(x)}{dx}\right)^n=1$$
$$\int \frac{df_n(x)}{\sqrt[n]{1-f_n(x)^n}}=x$$
$$f_n(x)-\binom{-1/n}{1}\frac{f_n(x)^{n+1}}{n+1}+\binom{-1/n}{2}\frac{f_n(x)^{2n+1}}{2n+1}-....=x$$
$$f_n(x)+\frac{f_n(x)^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{(n+1)f_n(x)^{2n+1}}{2!n^2(2n+1)}+\frac{(n+1)(2n+1)f_n(x)^{3n+1}}{3!n^3(3n+1)}+....=x$$
$$f_n(y)+\frac{f_n(y)^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{(n+1)f_n(y)^{2n+1}}{2!n^2(2n+1)}+\frac{(n+1)(2n+1)f_n(y)^{3n+1}}{3!n^3(3n+1)}+....=y$$
$$f_n(x+y)+\frac{f_n(x+y)^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{(n+1)f_n(x+y)^{2n+1}}{2!n^2(2n+1)}+\frac{(n+1)(2n+1)f_n(x+y)^{3n+1}}{3!n^3(3n+1)}+....=x+y$$
$$f_n(x+y)+\frac{f_n(x+y)^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{(n+1)f_n(x+y)^{2n+1}}{2!n^2(2n+1)}+\frac{(n+1)(2n+1)f_n(x+y)^{3n+1}}{3!n^3(3n+1)}+....=f_n(x)+f_n(y)+\frac{f_n(x)^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{f_n(y)^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{(n+1)f_n(x)^{2n+1}}{2!n^2(2n+1)}+\frac{(n+1)f_n(y)^{2n+1}}{2!n^2(2n+1)}+\frac{(n+1)(2n+1)f_n(x)^{3n+1}}{3!n^3(3n+1)}+\frac{(n+1)(2n+1)f_n(y)^{3n+1}}{3!n^3(3n+1)}+....$$
Pero no pude encontrar $f_n(x+y)$ tan solo en un lado. Necesito tu mano para que las ideas y referencias de cómo se puede encontrar la adición de la fórmula.
Muchas gracias por las respuestas
EDIT: (Añadido el 15 de Noviembre)
Quiero añadir mis resultados sobre el poder de la serie de $f_n(x)$ pensaba que el poder de la serie me puede dar una manera de encontrar la adición de la fórmula.
$$f_n(x)+\frac{f_n(x)^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{(n+1)f_n(x)^{2n+1}}{2!n^2(2n+1)}+\frac{(n+1)(2n+1)f_n(x)^{3n+1}}{3!n^3(3n+1)}+....=x$$ Debido a que el resultado anterior, sólo $x,x^{n+1},x^{2n+1},x^{3n+1},...$ términos no será cero. Por lo tanto podemos escribir, $$f_n(x)=x+\frac{a_{n+1} x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{a_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...$$
$$f_n(x)^n+\left(\frac{df_n(x)}{dx}\right)^n=1$$
$$\left(x+\frac{a_{n+1} x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{a_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}+... \right)^n+\left(1+\frac{a_{n+1} x^{n}}{n!}+\frac{a_{2n+1} x^{2n}}{(2n)!}+... \right)^n=1$$
$$x^n\left(1+\frac{a_{n+1} x^{n}}{(n+1)!}+\frac{a_{2n+1} x^{2n}}{(2n+1)!}+... \right)^n+\left(1+\frac{a_{n+1} x^{n}}{n!}+\frac{a_{2n+1} x^{2n}}{(2n)!}+... \right)^n=1$$
podemos encontrar fácil el resultado activando la casilla de verificación sólo $x^n$ términos.
$$1+\frac{n a_{n+1} }{n!}=0$$
$$a_{n+1}=-(n-1)!$$
$$f_n(x)=x-\frac{ x^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{a_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...$$
Todavía no he encontrado una manera fácil de encontrar $a_{2n+1},a_{3n+1},...$ términos
Si alguien ve una manera fácil de cómo encontrar el patrón de $a_{2n+1},a_{3n+1},...$ , por favor escribir a mí
Gracias por los consejos
Actualización: Añadido el 16 de Noviembre de
También he encontrado $a_{2n+1}$
Ahora mi último resultado es :
$$f_n(x)=x-\frac{ x^{n+1}}{n(n+1)}+\frac{(1+2n-n^2) x^{2n+1}}{(2n+1)2n (n+1)n}+\frac{a_{3n+1} x^{3n+1}}{(3n+1)!}+...$$
