Secuencia de números primos de la forma $n^2 + n+1$

Question

Mirando los números primos $p_i $ de la forma $n^2+n+1$ y la derivada de la expresión

$$1 - \prod_{i=1}^{j}\frac{(p_i-1)}{p_i}$$

parece (yo no reclamo y no veo por qué debe ser cierto) que los numeradores de estos números (en términos mínimos) de más de 1 puede contener sólo los factores primos que son en sí mismos factores de los números de la forma $n^2+n+1.$ es cierto para

$$1, 3, 43, 1381, 8689, 642937, 7812553,$$

y no puedo comprobar que el siguiente elemento, 1,655,913,643. (Nota: la secuencia de $p_i$ puede ser finito.) Sólo estoy pidiendo que en caso de que haya una elemental razón de esto que no veo. Gracias.

Gracias.

Answer 1

Un alto $p$ es un factor de un número de la forma $n^2+n+1$ si y sólo si $p \neq 2 \pmod 3$:

$3$ es un factor de $1^2+1+1 = 3$
Si $p \neq 3$, entonces el $(n^2+n+1)(n-1)=n^3-1$, así $p$ % es un factor $n^2+n+1$ si y sólo si es un factor de $n^3-1$ donde $n \neq 1 \pmod p$, que equivale a la existencia de una raíz cúbica no trivial de $1$ $\Bbb Z/p \Bbb Z$. $(\Bbb Z/p \Bbb Z)^*$ Es un grupo cíclico de orden $p-1$, hay uno si y sólo si $p-1 \equiv 0 \pmod 3$.

Desde $773 \equiv2 \pmod 3$, no es un factor de un número de la forma $n^2+n+1$