¿Por qué se supone que un protón está siempre en el centro al aplicar la ecuación de Schrödinger?

Question

¿Por qué se supone que un protón está siempre en el centro al aplicar la ecuación de Schrödinger ? ¿No es una partícula cuántica?

Answer 1

Hay un riguroso análisis formal que le permite hacer esto. El verdadero problema, por supuesto, permite que tanto el protón y el electrón que se mueva. La correspondiente ecuación de Schrödinger, por tanto, tiene las coordenadas de ambas variables. Para simplificar las cosas, por lo general se transforma esas variables a la relativa separación y el centro de masa de la posición. Resulta que el problema, a continuación, separa (por una fuerza central) en un "estacionaria de protones" ecuación y una partícula libre ecuación de la COM.

Hay un pequeño precio a pagar por este: la masa por el centro de masa de movimiento es la masa total - como era de esperar - pero la parte radial de la ecuación tiene una masa dada por la reducción de la masa $$\mu=\frac {Mm}{M+m}=\frac{m}{1+m/M} ,$$ que está cerca de la masa del electrón $m$ desde el protón masa $M$ es mucho mayor.

Es importante tener en cuenta que una exactamente análogo de separación se mantiene para el tratamiento clásico de la Kepler problema.

Acerca de la auto-interacciones medicamentosas, estos son muy difíciles de manejar sin la invocación de la totalidad de la maquinaria de la electrodinámica cuántica. Afortunadamente, en la baja energía de los límites donde los átomos de hidrógeno puede formar, resulta completamente puede descuidar.

Answer 2

Supongo que estamos hablando de que el átomo de hidrógeno; el hamiltoniano del núcleo + electrón sistema es $$ H = \frac{p_e^2}{2 m _e} + \frac{p_n^2}{2 m _n} - \frac{e^2}{|r_e - r_n|}. $$ Usted puede hacer un cambio de coordenadas (centro de masa de coordenadas) $$ \vec{R} = \frac{m_e \vec{r}_e + m_n \vec{r}_n}{m_e+m_n} \\ \vec{r} = r_e -r_n $$ y encontrar el conjugado momenta a estas coordenadas: $$ \vec{P} = \vec{p}_e + \vec{p}_n \\ \vec{p} = \frac{m_n \vec{p}_e - m_e \vec{p}_n}{m_e+m_n}. $$ Definir también la reducción de la masa $\mu$ tal que $$ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_n} $$ y la masa total $M = m_e + m_n$, usted puede escribir el átomo de hidrógeno de hamilton como $$ H = \frac{P^2}{2 M} + \frac{p^2}{2 \mu} - \frac{e^2}{r} = H_{CM} + H_{rel}. $$ En esta cálculos siempre he tratado el núcleo como una partícula cuántica; pero si nos fijamos en $H_{rel} = p^2/2\mu - e^2/r$ y dejar que la masa del núcleo tienden a infinito, se puede obtener el átomo de hidrógeno hamiltonianos que normalmente se enseñan en basic QM cursos También, usted no tiene otros términos como spin-órbita, j-j acoplamientos, etc. porque son efectos relativistas que salen de la ecuación de Dirac.

Answer 3

Con respecto a su primera pregunta:

Una similar (el mismo?) pregunta usted podría preguntarse es: ¿cómo podemos suponer que el protón está inmóvil en el centro del problema, ya que es, sin duda va a ser atraídos por el electrón y se sacuden un poco? Esta es una pregunta que sería igual de válido dirigida a un sistema clásico --- decir, un planeta en órbita alrededor de una estrella --- como mecánica cuántica.

La solución a esto es como se describió anteriormente, por los demás: el hecho de que la estrella/protón es mucho más masiva que el planeta/electron significa que se va a mover muy poco (la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa, y por lo tanto con una gran masa tenemos una muy pequeña aceleración es decir, muy poco movimiento), y para el fondo de pantalla de la naturaleza de la estrella/protón es una gran aproximación. Y de hecho, podemos hacer el análisis completo de manera rigurosa por el trato con relativa separaciones y la reducción de las masas. Pero el finita la masa del protón, significa que, efectivamente, el protón en realidad no va a ser estacionaria.

Sin embargo, no estoy seguro de que esta es la pregunta que te estás preguntando. Su preocupación no es la de "no es el protón, una partícula de masa finita", sino "¿no es una partícula cuántica". La sugerencia es que usted piensa que el protón debe moverse debido a su mecánico-cuántica de la naturaleza --- que, debido al principio de incertidumbre, etc. --- independientemente de la masa del protón (tal vez estoy equivocado acerca de esto).

En el límite de los protones tener infinitamente más masa que el electrón, la mecánica cuántica de la naturaleza de los protones no forzarlo a moverse. En otras palabras, la incertidumbre en su posición, $\Delta x$, se puede hacer arbitrariamente cercano a cero. Esto es consistente con el principio de incertidumbre desde su ímpetu $p$ (masa x velocidad) tiende a infinito en el límite de un ser infinitamente masiva de protones. De ahí que aún podemos lograr

$$ \Delta p \Delta x \geq \frac{\hbar}{2} $$

con una arbitrariamente pequeño de velocidad y de posición de incertidumbre, si hacemos la masa arbitrariamente grande.

En otras palabras, en el supuesto de que estamos utilizando el descuido de movimiento del protón, debido a que es atraído a la de los electrones, también podemos descuidar el movimiento de los protones debido a la mecánica cuántica efectos.

La realidad es que el protón se agitan --- se agitan un poco debido a su intrínseca de la mecánica cuántica de la naturaleza, y se agitan un poco más debido a la fuerza de atracción sobre ella de los electrones. Sin embargo, esto puede ser tratado con rigor al igual que antes, con relativa separaciones y la reducción de las masas.