¿Son funciones integrables, esencialmente limitadas, en L ^ p?

Question

Dada una medida arbitrario del espacio ( posiblemente infinita medida), si $f \in L^1 \cap L^\infty$, luego por Hölder la desigualdad, $f^2 \in L^1$, lo $f \in L^2$.

La intuición sugiere que $f \in L^p$ incluso para cualquier $1 \le p \le \infty$ (ya que hemos eliminado las únicas dos cosas que pueden ir mal para $f$$L^p$; blow-up y no-caries).

Esto no parece que se sigue en el común de las desigualdades, de ahí mi pregunta: ¿Es cierto que

$L^1 \cap L^\infty \subset L^p$

en general, y si es así ¿cómo puedo demostrarlo? Muchas gracias de antemano por las sugerencias!

Answer 1

Sí, es verdad. Vamos a definir$A = \{x : \lvert f(x)\rvert > 1\}$. Entonces$\mu(A) \leqslant \int_A \lvert f(x)\rvert\,d\mu \leqslant \lVert f\rVert_1$, y por lo tanto

ps

desde$$\int_X \lvert f(x)\rvert^p\,d\mu = \int_A \lvert f(x)\rvert^p\,d\mu + \int_{X\setminus A} \lvert f(x)\rvert^p\,d\mu \leqslant \lVert f\rVert_\infty^p\cdot \lVert f\rVert_1 + \lVert f\rVert_1 < \infty$ en$\lvert f(x)\rvert^p \leqslant \lvert f(x)\rvert$.

Answer 2

En general, tenemos una familia de desigualdades de interpolación: asumir$1\leq q \leq r \leq p \leq \infty$ con $$ \ frac1r = \ frac \ theta q + \ frac {1- \ theta} {p}, \ qquad \ theta \ in (0,1 ) $$ Entonces, si$f \in L^q \cap L^p$ tenemos $$ f \ en L ^ r \ qquad \ text {y} \ qquad \ | f \ | _r \ leq \ | f \ | _q ^ {\ theta} \, \ | f \ | _p ^ {1- \ theta}. $$

Para probar esto, simplemente escriba $$ \ int_X | f (x) | ^ r \, d \ mu = \ int_X | f (x) | ^ {\ theta r} \, | f (x) | ^ {(1 - \ theta) r} \, d \ mu $$ y luego usa la desigualdad del titular con los exponentes$a = q/(\theta r)$ y$a' = p/[(1-\theta)r] $.