Matrices mutuamente conmutables

Question

Sea $A_{1},..., A_{m}$ sea $n \times n$ matrices con entradas en un campo $K$ tal que $A_{i}A_{j} = A_{j}A_{i}$ para todos $1 \leq i, j \leq n$ y el producto $A_{1}A_{2} ... A_{m} = 0$ es la matriz cero. Demostrar que hay $h \leq n$ índices distintos $i_{1}, ..., i_{h}$ tal que $A_{i_{1}} ... A_{i_{h}} = 0$ .

Demostré, induciendo en $m$ que las matrices en cuestión tienen un conjunto de vectores propios comunes, digamos $B$ y no necesariamente los mismos valores propios. Entonces en $B$ vemos que algunos valores propios tienen que ser ceros. A partir de aquí, puedo usar una pista.

Alguien mencionó una pista: reducir el rango a cero, lo que no me llevó muy lejos [lo siento, publiqué este problema en math overflow, que no era apropiado para un mero problema de preparación de álgebra lineal y por eso lo moví aquí].

Answer 1

Lo siguiente (que no es exactamente mi idea original) parece funcionar mejor:

Seguimiento de los espacios nulos $N(A_k\cdots A_1)$ de segmentos del producto. Mientras $N(A_k\cdots A_1)\not= N(A_{k-1}\cdots A_1)$ este espacio nulo crece al menos una dimensión por cada factor, por lo que será el espacio completo después de $n$ pasos, según se desee.

Por otra parte, si $N(A_k\cdots A_1)=N(A_{k-1}\cdots A_1)$ y, a continuación, eliminar $A_k$ no aumentará el rango de todo el producto porque esta parte puede ir a la izquierda y así $$A_k\cdots A_1 P \quad\textrm{and}\quad A_{k-1}\cdots A_1 P$$ ( $P$ contiene el resto $A$ ) aniquilan a los mismos vectores. Así que si eliminamos por el camino los $A_k$ donde el espacio nulo se estabiliza, entonces el procedimiento descrito en el primer párrafo conducirá a un producto con a lo sumo $n$ factores que sigue siendo cero.