Plazas en progresión aritmética

Question

Es fácil encontrar 3 plazas (de enteros) en una progresión aritmética. Por ejemplo, $1^2,5^2,7^2$.

Me han dicho que Fermat demostró que no hay progresiones de longitud 4 en las plazas. ¿Sabe usted de una prueba de este resultado?

(Además, existen resultados similares para los cubos, 4 de poderes, etc? Si es así, ¿cuál sería una buena referencia para este tipo de material?)

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Edición, 30 de Marzo de 2012: La siguiente pregunta en el MO es relativa y puede ser útil para las personas interesadas en la pregunta que he publicado aquí.

Answer 1

Aquí hay un par de pruebas: 1, 2 (que es excelente), y algo extraño 3.

Lamentablemente, no hay casos en los que ha trivial progresiones aritméticas de los poderes superiores. Esta es una cadena de pruebas. Carmichael amparado esto para n = 3 y 4, hace unos cien años. Pero no se completó hasta Ribet escribió un artículo sobre él en la década de los 90. Su papel puede ser encontrado aquí. Es equivalente a la instrucción, cuando nos dejamos $\alpha = 1$. Curiosamente, ocurre que han enviado un aviso sobre scimath con un poco de humor, que todavía puede ser encontrado aquí.

Answer 2

Una rápida búsqueda en Google encontré esto: http://www.math.ku.dk/~kiming/lecture_notes/2007-2008-elliptic_curves/4_squares_in_arithmetic_progression.pdf . Contiene un bosquejo de una prueba elemental al final y cita de Dickson historia de la teoría de números.

Answer 3

Mi favorito prueba de ello es Van der Poorten (http://maths.mq.edu.au/~alf/SomeRecentPapers/183.pdf) - utiliza la pendiente, como Fermat seguramente tendría.