Estoy tratando de comprobar si es o no la secuencia de $$a_{n} =\left\{\frac{n^n}{n!}\right\}_{n=1}^{\infty}$$ is bounded, convergent and ultimately monotonic (there exists an $N$ such that for all $n\geq$ N, la sucesión es monótona creciente o decreciente). Sin embargo, estoy teniendo un montón de problemas para encontrar una solución que suficientemente que me satisfaga.
Mi mejor argumento hasta ahora es la siguiente,
$$a_{n} = \frac{n\cdot n\cdot n\cdot \ldots\cdot n}{n(n-1)(n-2)(n-3)\dots(2)(1)} = \frac{n}{n}\cdot \frac{n}{n-1}\cdot \ldots \cdot \frac{n}2\cdot n$$
por lo $\lim a_{n}\rightarrow \infty$ desde $n<a_{n}$ todos los $n>1$. Puesto que la sucesión es divergente, se sigue que la función debe ser en última instancia, monótona.
Esto se siente un poco dudoso para mí, me siento como que puedo formar un mucho mejor argumento que eso, o al menos de una forma más elegante. He tratado de asumir $\{a_{n}\}$ enfoques de algunos límite de $L$, por lo que existe cierta $N$ tal que
$|a_{n} - L| < \epsilon$ siempre $n>N$ y derivar una contradicción, pero este enfoque me hizo nada.
Por último, también he intentado usar el hecho de que $\frac{a_{n+1}}{a_n}\rightarrow e$ a ayudarme, pero no pude encontrar un argumento donde ese hecho sería útil.
