¿Cómo encuentro las singularidades y los residuos?

Question

Dado es $f(z)=\sin(\exp(\frac{1}{z}))$ . ¿Cómo encuentro las singularidades y los residuos?

Sé que la singularidad para mi función es $z_0=0$ . ¿Pero cómo encuentro los residuos?

Answer 1

El residuo de $f$ en $0$ es

$$\frac{1}{2\pi i} \int_{\lvert z\rvert = r} f(z)\,dz,\tag{1}$$

donde desde $f$ es holomorfo en $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ el radio $r$ puede elegirse arbitrariamente. (En general, debe elegirse lo suficientemente pequeño como para que el círculo no encierre ni pase por ninguna otra singularidad).

Realización de la sustitución $w = 1/z$ en $(1)$ da como resultado -nótese que la sustitución conduce a un círculo con orientación negativa; entonces utilizamos el signo menos de la derivada para cambiar la orientación-

$$\operatorname{Res} (f;0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\lvert w\rvert = R} \frac{\sin (\exp w)}{w^2}\,dw$$

(donde $R = 1/r$ ), que es fácil de evaluar si se recuerda la fórmula integral de las derivadas.

Answer 2

Como alternativa al camino presentado por Daniel, podemos ampliar la función $f(z)$ en una serie Laurent. Procedemos a escribir

$$\begin{align} f(z)&=\sin\left(e^{1/z}\right)\\\\ &=\sin\left(1+\frac1z+O\left(\frac{1}{z^2}\right)\right)\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(1+\frac1z+O\left(\frac{1}{z^2}\right)\right)^{2n+1}\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}+\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\right)\,\frac1z+O\left(\frac{1}{z^2}\right)\\\\ \end{align}$$

El residuo es, por lo tanto, $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}=\cos(1)$ .