Muestra esta serie infinita converge

Question

Quiero mostrar que la serie$$\sum_{k=1}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} (-1)^k converge. Estoy bastante seguro de que converge a cero, pero no ha tenido éxito. ¿Funcionará la prueba de relación?

Answer 1

La prueba de relación fallará. Pero la serie es absolutamente convergente. El$k$ - th término es$$-\frac{(1/2)(1/2)(3/2)\cdots(k-3/2)}{k!}. Esto es$O(1/k^{3/2})$ por decir fórmula de Stirling, o que su logaritmo es una constante más$\sum_{j=2}^k\ln(1-3/(2k))$.

Por el teorema de Abel, la suma es$$\lim_{t\to 1^-}\sum_{k=1}^\infty\binom{1/2}k(-1)^kt^k que es$-1$ ya que esta función es$-1+\sqrt{1-t}$.

Answer 2

INSINUACIÓN:

Me gusta Calcular$1+\frac13+\frac{1\cdot3}{3\cdot6}+\frac{1\cdot3\cdot5}{3\cdot6\cdot9}+\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{3\cdot6\cdot9\cdot12}+\dots?$ usando la serie Binomial ,

ps

ps

¿Puedes resolver para$$nx=\dfrac12(-1)$