¿Puede la dualización de espacios vectoriales convertirse en un functor covariante?

Question

El endofunctor contravariante $$\mathbf{Set}^{op} \rightarrow \mathbf{Set}$$ $$X \mapsto [X,2]$$

puede convertirse en un endofunctor covariante $$\mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Set}$$ $$X \mapsto \mathcal{P}(X)$$

de tal manera que:

• estos functores hacen lo mismo con los objetos
• hacen lo mismo con los isomorfismos, salvo que $X \mapsto [X,2]$ invierte la dirección.

Esto no es demasiado sorprendente, ya que $X \mapsto [X,2]$ puede verse como "completar" un conjunto hasta convertirlo en un supradisciplinar, y luego olvidar la estructura del supradisciplinar. Probablemente sea justo decir que la estructura covariante de este functor proviene esencialmente de este hecho (aunque quizá haya una forma mejor de verlo).

De todos modos, me pregunto si podemos hacer algo similar al functor dual-vectorspace

$$\mathbb{R}\mathbf{Mod}^{op} \rightarrow \mathbb{R}\mathbf{Mod}$$

$$X \mapsto \mathbb{R}\mathbf{Mod}(X,\mathbb{R}).$$

Parece probable que podamos, ya que tiendo a pensar en los espacios vectoriales duales como "completar" un espacio vectorial a un artilugio en el que existen ciertas sumas infinitas, y luego olvidar esta estructura extra.

Answer 1

No, no es posible. Restrinjamos nuestra atención a sólo espacios vectoriales de dimensión finita, y el esqueleto de esta categoría cuyos objetos son $\mathbb{R}^n$ y cuyos morfismos son matrices. Su pregunta entonces es: ¿existe una operación $F$ que envía $m\times n$ matrices a $m\times n$ para todas las matrices $m$ y $n$ preserva la multiplicación de matrices y satisface $F(A)=(A^T)^{-1}$ cuando $A$ ¿es una matriz cuadrada invertible?

Supongamos que $F$ es una operación de este tipo y hacer algunos cálculos con ella. Sea $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$ , $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ y $w=\begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}$ .

Tenemos $F(A)=(A^T)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . También disponemos de $Av=v$ y, por tanto $F(A)F(v)=F(Av)=F(v)$ . Esto significa que $F(v)$ debe tener la forma $\begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix}$ para algunos $x$ . Del mismo modo, tenemos $F(B)=(B^T)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2\end{pmatrix}$ y $Bv=v$ Así que $F(B)F(v)=F(v)$ lo que significa $x=0$ . Así $F(v)=0$ . Pero $wv$ es el $1\times 1$ matriz $1$ Así que $F(wv)=1$ también. Esto es una contradicción ya que $F(wv)=F(w)F(v)=0$ .

Answer 2

OMI, la característica clave del ejemplo del conjunto de potencia es que $\mathcal{P}$ es secretamente un functor de conjuntos a celosías completas, y la categoría de celosías completas es en realidad un $2$ -y los morfismos tienen adjuntos. Los funtores de conjunto de potencias covariante y contravariante no son más que aplicar el functor olvidadizo a diferentes mitades de una adjunción.

Dudo que se pueda establecer algo análogo para los espacios vectoriales. Sin embargo, creo que se puede hacer para algunas categorías de espacios de productos internos por ejemplo, cualquier morfismo de espacios de Hilbert tiene un adjunto (en el sentido del álgebra lineal) que permite manejar la misma configuración.

(descargo de responsabilidad: mi análisis funcional está oxidado, así que puede que lo anterior no sea realmente un hecho, y si lo es puede que sea en condiciones innecesariamente restrictivas).

Sospecho que esta restricción está más relacionada con su intuición que con su pregunta real; por ejemplo, ni siquiera tiene sentido hablar de $V^*$ como finalización de $V$ a menos que realmente tengas un morfismo $V \to V^*$ y tal cosa suele venir en forma de transposición con respecto a un producto interior: es decir, el mapa $v \mapsto \langle -, v \rangle$ .

Aparte: creo recordar que se pueden establecer analogías entre la $\hom(-, -)$ para categorías y $\langle -, - \rangle$ para espacios de productos internos.