Convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$ con $\lim(a_n)=0$ .

Question

¿Es cierto que si $(a_n)_{n=1}^\infty$ es cualquier secuencia de números reales positivos tal que $$\lim_{n\to\infty}(a_n)=0$$ entonces, $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$$ ¿converge?

En caso afirmativo, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Es falso. Para $n\gt 1$ , dejemos que $a_n=\dfrac{1}{\log n}$ .

La divergencia puede demostrarse observando que $\int_2^\infty \frac{dx}{x\log x}$ diverge. (Una antiderivada es $\log\log x$ .)

Answer 2

No: toma $a_n:=\frac 1{\log n}$ entonces $$\sum_{j=2}^{N-1}\frac 1{j\log j}\leqslant \int_2^N\frac 1{t\log t}dt=[\log(\log t)]_2^N\geqslant \frac{\log \log N}2$$

Answer 3

El problema es equivalente a encontrar una función positiva creciente $f(n)$ que se acerca a $+\infty$ más lento que la serie armónica.

Dada dicha función, elija $a_n$ para que $\sum \frac{1}{na_n} = f(n)$ . Entonces $\sum \frac{1}{na_n}$ diverge.

O, para fórmulas más sencillas, tomar una continua $f(x)$ y elija $a(x)$ para que $\frac{1}{xa(x)} = f'(x)$ . Entonces $\int \frac{1}{xa(x)}$ diverge y, en consecuencia, también lo hace $\sum \frac{1}{na_n}$ .

La opción más común es $f(x) = \log \log x$ .