¿Existe alguna relación entre el Nullstellensatz de Hilbert y el hecho de que los ideales máximos en $\mathcal C([0,1])$ corresponden a un punto en $[0,1]$ (que se puede generalizar a los espacios hausdorff compactos)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que con el Nullstellensatz de Hilbert te refieres aquí a que existe una biyección entre los ideales maximales de $k[T_1,\dotsc,T_d]$ y los puntos en $\mathbb{A}^n(k)$ , donde $k$ es un campo algebraicamente cerrado. Bueno, no creo que podamos demostrar uno de estos teoremas a partir del otro, pero podemos ponerlos en el mismo marco de la siguiente manera.
Dejemos que $X$ sea un espacio localmente anillado. Entonces existe un morfismo canónico $i_X : X \to \mathrm{Spec}(\Gamma(X,\mathcal{O}_X))$ Véase EGA I, §1.6. Asigna un punto $x \in X$ al ideal primo $\{f \in \Gamma(X,\mathcal{O}_X) : f_x \in \mathfrak{m}_x\}$ .
Si $X$ es un esquema afín, entonces $i_X$ es un isomorfismo. Si $X$ es una variedad afín en el sentido clásico (sólo puntos cerrados y todo está definido sobre un campo algebraicamente cerrado), entonces $i_X$ se restringe a un homeomorfismo $X \cong \mathrm{Spm}(\Gamma(X,\mathcal{O}_X))$ (los ideales máximos); esto es el Nullstellensatz de Hilbert.
Si $X$ es un espacio topológico dotado de su gavilla de funciones continuas a $\mathbb{R}$ entonces $i_X(x)=\{f : X \to \mathbb{R} : f(x)=0\}$ es un ideal máximo de $X$ (el cociente es $\mathbb{R}$ ). Si $X$ es Hausdorff compacto, entonces $i_X$ se restringe a un homeomorfismo $X \cong \mathrm{Spm}(C(X,\mathbb{R}))$ . Dudo que podamos reducir este resultado no trivial a algo más algebraico. Por ejemplo, la inyectabilidad utiliza el Lemma de Urysohn, y para la subjetividad necesitamos una propiedad especial de $\mathbb{R}$ , es decir, que $u_1^2 + \dotsc + u_n^2=0$ sólo tiene la solución trivial $u_1=\dotsc=u_n=0$ . Permítanme recordar la prueba: Si $\mathfrak{m}$ es un ideal máximo y $i_X(x) \neq \mathfrak{m}$ para todos $x$ encontramos $f_x \in \mathfrak{m}$ con $f_x(x) \neq 0$ . Desde $X$ es compacto, hay un número finito de $x$ tal que $X$ está cubierto por los subconjuntos abiertos $\{f_x \neq 0\}$ . Pero entonces $\sum_x f_x^2 \in \mathfrak{m}$ no desaparece en ninguna parte, es decir, es una unidad, contradicción.
