Ayudar a encontrar el área superficial de una revolución

Question

El problema es que estoy atascado en:

Encontrar la superficie de esta revolución sobre el eje y

$x = \sqrt{9-y^2}; -2\leq y\leq2$

Lo que he hecho hasta ahora:

$A= 2\pi \int_{-2}^2 \sqrt{9-y^2} \sqrt{1 + (\frac{1}{2}(9-y^2)^\frac{-1}{2}(-2y))^2} dy$

$ = 4\pi \int_{0}^2 \sqrt{9-y^2} \sqrt{1 + (\frac{1}{2}(9-y^2)^\frac{-1}{2}(-2y))^2} dy$

$ = 4\pi \int_{0}^2 \sqrt{(9-y^2) + (9-y^2)(\frac{1}{2}(-2y)(9-y^2)^\frac{-1}{2})^2} dy$

$ = 4\pi \int_{0}^2 \sqrt{(9-y^2) + (9-y^2)((-y)^2(9-y^2)^{-1})} dy$

$ = 4\pi \int_{0}^2 \sqrt{(9-y^2) + (9-y^2)(\frac{(-y)^2}{(9-y^2)})} dy$

$ = 4\pi \int_{0}^2 \sqrt{(9-y^2) + (-y)^2} dy$

$ = 4\pi \int_{0}^2 \sqrt{9-y^2 -y^2} dy$*

$ = 4\pi \int_{0}^2 \sqrt{9-2y^2} dy$

La respuesta en el libro dice:

$24\pi$

Lo que significa que yo necesitaba para obtener la integral:

$ = 4\pi \int_{0}^2 \sqrt{9} dy$

Pero yo no veo cómo puedo manipular el problema con el álgebra para llegar allí... Alguna orientación?

EDITAR:

Añadido en algunos pasos para mostrar donde mi algrbra salió mal

*Aquí es donde he cometido el error.

Answer 1

$$ \begin{align} & \sqrt{9-y^2} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}(9-y^2)^\frac{-1}{2}(-2y)\right)^2} = \sqrt{9-y^2} \sqrt{1 + \frac{4y^2}{4(9-y^2)}} \\ & = \sqrt{9-y^2} \sqrt{1 + \frac{y^2}{9-y^2}} = \sqrt{9-y^2} \sqrt{\frac{(9-y^2) + y^2}{9-y^2}} \\ & = \sqrt{9-y^2} \sqrt{\frac{9}{9-y^2}} = \sqrt{9}. \end {Alinee el} $$