¿Por qué no teorema dominado de la convergencia en este ejemplo?

Question

Dado un espacio de medida, $(\Omega = [0,1], \mathcal{F} = \mathcal{B}[0,1], P)$, mi profesor dijo en clase que el límite de la expectativa siguiente podría no ser evaluado aplicando el teorema de convergencia dominando: $n \ge 2$,
$$ \lim_{n \to \infty} E\left (\cfrac {n} {\log n} \mathbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(w)\right). $$

¿Pero no $\cfrac{n}{\log n} \mathbb{1}_{[0, \frac{1}{n}]}(w) \to 0$ $n \to \infty$? ¿Entonces debe estar delimitado por alguna variable en $L_1(P)$ y tan DCT es aplicable? ¿O me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Dibujar una imagen de la secuencia de funciones! El $n$th función de ( $f_n$ ) es un cuadro de la altura de la $h_n:=n/\log n$ sentado en el intervalo de $[0, 1/n]$. Como $n$ aumenta, las cajas se mueven más cerca del origen, cada vez más delgado y más alto. El punto de este ejemplo es que las alturas $h_n$ crecen tan rápidamente que cualquier dominando función no puede ser integrable.

Para ver esto: Supongamos que la función $g$ domina la secuencia de $\{f_n\}$. A continuación, $g$ es al menos tan alto como el conjunto de cajas. Toda la gama de cajas puede ser descompuesto en un discontinuo de la unión de cajas, con la altura de la $h_n$ y la anchura $\frac1n - \frac1{n+1}=\frac1{n(n+1)}$, y por lo tanto la integral de esta dominando $g$ ha de superar la suma de las áreas de estos distintos cuadros, que es $$\sum_{n=2}^\infty \frac{h_n}{n(n+1)}.\tag1$$ En su ejemplo,$h_n=n/\log n$, por lo que la serie (1) diverge, lo que significa que $g$ no es integrable, por lo tanto, usted no puede satisfacer las condiciones del teorema de Convergencia Dominada, aunque$f_n\to0$$n\to\infty$$E(f_n)\to0$.

Para otras opciones de $h_n$ de la suma (1) no divergen, y ha encontrado un dominador $g$ que es integrable, y DCT se aplicará.

Nota: El punto de su profe del ejemplo no es que $h_n\to\infty$. Si intenta $h_n:=\sqrt n$$h_n\to\infty$, y sin embargo DCT se aplica, debido a que (1) converge para esta elección de $h_n$.

Answer 2

Que $X_n=\frac n{\log n}\mathsf 1_{\left[0,\frac1n\right]}$. Tenga en cuenta que $x\mapsto \frac x{\log x}$ es monótona decreciente en $\left(0,\frac1n\right]$ (podemos suponer WLOG que $X_n(0) = 0$ $\{0\}$ es un conjunto de medida cero), así que cada $n$, $$M_n:=\sup_{\omega\in\left[0,\frac1n \right]}|X_n| = \frac1{n\log n}.$$ If $Y$ dominates $\{X_n\}$, then $M_n\leqslant Y $ for all $n $, which implies that $Y$ no es integrable.

Sin embargo, podemos evaluar este límite directamente: $$\mathbb E\left[ \frac n{\log n}\mathsf 1_{\left[0,\frac1n\right]}\right] = \frac n{\log n}\cdot\frac 1n = \frac1{\log n}\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow0. $ $

Answer 3

Para el teorema de convergencia dominada aplicar a una secuencia de funciones (o variables aleatorias en su contexto) $f_n$, allí debe ser una función $g\in L^1$ así que $|f_n|<g$ % todos $n$. Tenga en cuenta que no es suficiente que $g\geq|\lim_{n\to\infty} f_n|$.

Si 0$$f_n=\frac{n}{\log n}\mathbf 1_{[0,1/n]},$L^1$ then it is true that $g$ almost everywhere, but no matter what $f_n$ function $f_n(x) de $ we choose to compare to $$, we will have that $f_n\to > g (x) $ for some values of $x $ (a set of positive measure) and $n $ sufficiently large. This is because for each $n $, we can choose $x $ sufficiently large so that $ f_n (x) $ is very large on the interval $ [0,1/n] $.