Transformación relativista de $c^2/v$

Question

Todo el mundo conoce la transformación relativista de una velocidad $v$ aquí en una dimensión,

$$v'=\frac{v+w}{1+\frac{w}{c^2} v}.$$

Pero entonces esto implica que

$$\frac{c^2}{v'} = \frac{\frac{c^2}{v}+w}{1+\frac{w}{c^2}\frac{c^2}{v}},$$

es decir, la misma ley de transformación para $v$ y para $c^2/v$ para que quede claro.

Nunca lo había notado. Lo que es extraño es que para una velocidad $|v|<c$ la velocidad $\frac{c^2}{|v|}>c$ no puede ser el de ninguna partícula. Podría ser una velocidad de grupo, pero eso no me aclara nada.

No puede ser sólo una coincidencia, ¿verdad? ¿Cuál es el significado físico de esta "reciprocidad"?

Para conectar más estrechamente con la respuesta de @robphy, podría haber formulado mi pregunta de la siguiente manera.

Dados dos observadores inerciales Bob y Carol asignando coordenadas respectivas $(x^0, x^1)$ y $(y^0, y^1)$ al mismo evento, la transformación que mapea una velocidad con respecto a Bob a una velocidad con respecto a Carol también mapea (i) la "pendiente" $x^1/x^0$ en $y^1/y^0$ y (ii) la pendiente $x^0/x^1$ en $y^0/y^1$ . Esto es natural para (i) ya que esta pendiente puede interpretarse de forma transparente como la velocidad de una señal que estaba en la posición $x^1=0$ en el momento $x^0=0$ pero es una sorpresa para (ii).

Answer 1

Bueno, por si sirve de algo:

Fijar $w$ y poner $f(v)=(v+w)/(1+vw)$ . Piensa en $f$ como un mapa de ${\mathbb R}^+$ a sí mismo.

(Aquí ${\mathbb R}^+$ son los números reales positivos. $f$ también se define para los reales negativos, pero eso no importa ahora).

Lo que dices es equivalente a:

$f$ conmuta con la toma de inversos.

Podemos identificar ${\mathbb R}^+$ con ${\mathbb R}$ aplicando la función logarítmica en un sentido y la función exp en el otro. Estos mapas son homomorfismos y, por tanto, toman inversos a negativos. Tras esta identificación, tenemos un mapa $\hat{f}:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ dado explícitamente por $x\mapsto \log(f(\exp(x)))$ . Bajo esta identificación, y teniendo en cuenta lo que se ha dicho sobre los homomorfismos, lo que está diciendo es que

$\hat{f}$ conmuta con la multiplicación por $-1$

o en otras palabras

$\hat{f}$ es una función impar.

Esto se confirma fácilmente con un cálculo directo y/o apelando al cálculo de su puesto.

No estoy seguro de que esto añada nada, aparte de señalar que su observación se reduce al hecho de que una función particular es impar. Las funciones Impares no son tan raras, y no siempre se consideran Impares las que aparecen de vez en cuando, así que tal vez eso sea todo.

Answer 2

Reformulando un poco, la ley de adición relativista dice que si $v_1$ y $v_2$ suma a $v$ que escribiremos como $v_1 \oplus v_2 = v$ entonces sus "ángulos de impulso" (o rapideces) se suman directamente. Es decir, $$\tanh \phi_i = v_i, \quad \tanh \phi = v, \quad \phi_1 + \phi_2 = \phi.$$ Su observación es que $1/v_1 \oplus v_2 = 1/v$ también, lo que equivale a demostrar que $$\text{arctanh}(a) - \text{arctanh}(1/a) = \text{constant}$$ para todos $a \in (-1, 1)$ . Y esto resulta ser cierto, así que tal vez tu resultado se reduce a una propiedad casual de arctanh.

He tratado de encontrar una explicación física. Teniendo $|v| > 1$ corresponde a tener un "ángulo de impulso" complejo $\phi$ . No sé qué significa eso, y es extra confuso porque los ángulos de impulso ya son generalizaciones "imaginarias" de los ángulos de rotación ordinarios (es decir, son lo que obtienes si rotas por un ángulo imaginario). Así que tal vez $|v| > 1$ lo envuelve de nuevo para que sea una rotación normal, pero no lo veo.

Answer 3

Bajo un impulso por la velocidad relativo-espacial $w=v_{CB}=\tanh\omega$ , El vector de 4 velocidades de Bob se transforma en el vector de 4 velocidades de Carol. Llama a $\omega$ el la rapidez relativa entre las 4 velocidades [temporales].

La transformación de la velocidad [espacial] $$v_{CA}=\frac{v_{BA}+v_{CB}}{1+v_{BA}v_{CB}}$$ proporciona su velocidad espacial [la pendiente del vector de 4 velocidades de Carol] $v'=v_{CA}=\tanh(\theta+\omega)$ en términos de la velocidad espacial de Bob $v=v_{BA}=\tanh\theta$ y la velocidad espacial relativa $w=v_{CB}=\tanh\omega$ .

Ese impulso también transforma el "eje espacial" de Bob [con pendiente $1/v_{BA}$ ] en el "eje espacial" de Carol [con pendiente $1/v_{CA}$ ]. (Esto es cierto porque, en la geometría del espaciotiempo de Minkowski, dos direcciones son perpendiculares en esa geometría cuando el producto de las pendientes es +1... para contrastar con el caso euclidiano donde el producto es $-1$ . Obsérvese que al tomar el producto de las dos fórmulas de la OP el lado derecho se simplifica).

Aunque, técnicamente hablando, el ángulo entre las líneas espaciales no es la rapidez... estas líneas espaciales son especiales porque son correspondientemente perpendiculares a las 4 velocidades del problema (la de Alice [no mostrada] y la de Bob y Carol) y coplanares con todas ellas.

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ACTUALIZACIÓN:

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He aquí un cálculo algebraico para apoyar el diagrama del espacio-tiempo anterior.

Uso la firma $(+,-)$ donde mi primer componente es el componente temporal.

Dejemos que $\hat V=\left(\begin{array}{c} \cosh{B} \\ \sinh{B} \end{array}\right)$ es la velocidad 4 de Bob (un vector temporal). Su velocidad espacial $v=\rm{slope}=\frac{\rm spatial\ component}{\rm temporal\ component}=\frac{\sinh B}{\cosh B}=\tanh{B}$ .

Dejemos que $M=\gamma\left(\begin{array}{cc} 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{array}\right)$ sea un impulso que mapee el vector 4 de Bob al vector 4 de Carol. (La velocidad de impulso $\beta$ corresponde a $w$ en el OP). Estoy mezclando intencionadamente las notaciones para distinguir los componentes de impulso de los componentes de 4 velocidades.

Entonces, tenemos la 4ª velocidad de Carol \begin{align} \hat V'&=M\hat V\\ \hat V'&= \gamma\left(\begin{array}{cc} 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{array} \derecha) \izquierda( \begin{array}{c} \cosh{B} \\ \sinh{B} \end{array} \derecha)\N-o &= \gamma\left( \begin{array}{c} \cosh{B} + \beta\sinh{B} \\ \beta\cosh{B}+\sinh{B} \end{array} \ right) = \left( \begin{array}{c} \cosh{C} \\ \sinh{C} \end{array} \derecha) \fin $\hat V'$ tiene pendiente $$v'=\tanh{C}=\frac{\beta\cosh{B}+\sinh{B}}{\cosh{B} + \beta\sinh{B}} =\frac{\beta+\tanh{B}}{1+\beta\tanh{B}}=\frac{\beta+v}{1+\beta v},$$ la transformación de la velocidad (la ecuación 1 de la OP).

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Siguiente...

Dejemos que $\hat V_{\perp}=\left(\begin{array}{c} \sinh{B} \\ \cosh{B} \end{array}\right)$ sea el vector unitario-x de Bob (un vector espacial ortogonal a su 4-velocidad $\hat V$ ). Tiene pendiente $v_{\perp}=\frac{\cosh B}{\sinh B}=\coth B=\frac{1}{v}$ .

El impulso mapeará este vector al vector unidad-x de Carol $\hat V_{\perp}'$ (un vector espacial ortogonal a la 4ª velocidad de Carol $\hat V'$ ). Así que, \begin{align} \hat V_{\perp}'&=M\hat V_{\perp}\\ \hat V_{\perp}'&= \gamma\left(\begin{array}{cc} 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{array} \derecha) \izquierda( \begin{array}{c} \sinh{B} \\ \cosh{B} \end{array} \derecha)\N-o &= \gamma\left( \begin{array}{c} \sinh{B} + \beta\cosh{B} \\ \beta\sinh{B}+\cosh{B} \end{array} \(derecha) |align} $\hat V_{\perp}'$ tiene pendiente $$v_{\perp}'=\frac{\beta\sinh{B}+\cosh{B}}{\sinh{B} + \beta\cosh{B}} =\frac{\beta+\coth{B}}{1+\beta\coth{B}}=\frac{\beta+v_{\perp}}{1+\beta v_{\perp}}=\frac{\beta+(\frac{1}{v})}{1+\beta (\frac{1}{v})},$$ llamémosla transformación de la pendiente espacial (la ecuación 2 de la OP).

Para completar, debemos mostrar que $v_{\perp}'=\frac{1}{v'}$ .

\begin{align} v_{\perp}' &\stackrel{?}{=}\frac{1}{v'}\\ &\stackrel{?}{=}\frac{1+\beta v}{\beta + v}\\ &\stackrel{\surd}{=}\frac{(\frac{1}{v})+\beta }{\beta (\frac{1}{v}) +1}\\ \end{align} ...y hemos terminado.

En mi opinión, la interpretación FÍSICA es que es la pendiente del eje X del observador. (Probablemente se puedan encontrar otras interpretaciones... pero en el fondo... es esta pendiente).

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ACTUALIZACIÓN #2 (en respuesta a la actualización y los comentarios del OP):

En un impulso de Lorentz, podemos ver cómo la velocidad 4 y el eje espacial de un observador se transforman de forma complementaria viendo un "diamante de luz-reloj" en un "papel cuadriculado girado".

Esto está sacado de una entrada de blog en la que colaboré en https://www.physicsforums.com/insights/relativity-rotated-graph-paper/
Esto se basa en mi reciente artículo ("Relativity on Rotated Graph Paper", Am. J. Phys. 84, 344 (2016); http://dx.doi.org/10.1119/1.4943251 ).

En estos diagramas, el tiempo corre hacia arriba.
Los diamantes del reloj de luz están trazados por las trayectorias espaciotemporales de las señales de luz en un reloj de luz longitudinal. Las líneas del mundo de los espejos del reloj de luz no se muestran, pero están implícitas en los eventos de reflexión. En cada tic del reloj de luz, estos eventos son "espaciales" según el observador que lleva ese reloj de luz. Es decir, esa dirección es Minkowski-perpendicular a la 4ª velocidad de ese observador. Visualmente, esto significa que las diagonales de un diamante de reloj de luz son Minkowski-perpendiculares entre sí.

Bajo un refuerzo, el diamante del reloj de luz de Alice debe transformarse en el diamante del reloj de luz de Bob, que debe tener aristas paralelas al cono de luz (para preservar la velocidad de la luz) y debe tener el área preservada (ya que el refuerzo de Lorentz tiene determinante igual a uno). [El área resulta ser el intervalo cuadrado de OF.]

Geométricamente, la punta de la 4-velocidad viaja a lo largo de la hipérbola unitaria centrada en el origen. [Esto asegura que el área del diamante se mantiene]. En el punto de intersección, la tangente a la hipérbola es perpendicular de Minkowski a la 4-velocidad [un vector de radio unitario]. Esta tangente es paralela a la diagonal espacial del diamante del reloj de luz.
Por lo tanto, la diagonal YZ es Minkowski-perpendicular a la diagonal OF.

Answer 4

Enlace : Sobre las relaciones de Broglie, ¿qué es exactamente E? ¿Su energía de qué?

En mi respuesta en el enlace anterior está contenida la versión tridimensional de este resultado. No es extraño ni divertido. Podemos llamarla "la ley de transformación de las velocidades de las fases" por analogía con "la ley de transformación de las velocidades de las partículas". Dejemos de lado por un momento la partícula acompañada: en 1 dimensión una fase $\:\phi=\omega t\!-\!kx\:$ en un marco $\:\mathrm{S}\:$ propagándose con velocidad $\:\mathrm{w}=\omega/k\:$ es un escalar invariante de Lorentz \begin{equation} \phi'=\omega' t'\!-\!k'x'=\omega t\!-\!kx=\phi \tag{01} \end{equation} propagándose con velocidad $\:\mathrm{w'}=\omega'/k'\:$ relativamente a un marco $\:\mathrm{S'}$ . Si $\:\mathrm{S'}$ se mueve con velocidad $\:-\upsilon\:$ relativamente a $\:\mathrm{S}\:$ entonces \begin{equation} \left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w'}}\right)=\dfrac{\upsilon+\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{1+\dfrac{\upsilon}{\mathrm{w}}}=\dfrac{\upsilon+\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{1+\dfrac{\upsilon\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{c^2}} \tag{02} \end{equation} definir \begin{equation} u\stackrel{def}{\equiv}\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)\,,\quad u'\stackrel{def}{\equiv}\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w'}}\right) \tag{03} \end{equation} La ecuación (02) nos recuerda la suma relativista de las velocidades de las partículas $\:\upsilon, u$ \begin{equation} u'=\dfrac{\upsilon+u}{1+\dfrac{\upsilon u}{c^2}} \tag{04} \end{equation} Por otro lado esta misma ecuación (02) expresada como \begin{equation} \quad \mathrm{w'}=\dfrac{\upsilon+\mathrm{w}}{1+\dfrac{\upsilon \mathrm{w}}{c^2}} \tag{02'} \end{equation} nos recuerda la suma relativista de las velocidades de las partículas, pero ahora esta ecuación es válida también para las velocidades superlumínicas ( $\:\mathrm{w}>c,\mathrm{w'}>c\:$ ).

Ahora, si la fase $\:\phi=\omega t\!-\!kx\:$ es "superlumínico" : $\:\mathrm{w}=\omega/k>c\:$ entonces tiene esta propiedad en todos los marcos (1) y las velocidades $\:u, u'\:$ en (03) son "subliminales": $\:u<c, u'<c\:$ correspondiente a una partícula y viceversa : a una partícula con velocidad $\:u<c\:$ corresponde una onda de fase plana "superlumínica" acompañada que se propaga con velocidad $\:\mathrm{w}=c^2/u>c$ . Y esta imagen es invariante de Lorentz, es decir, la misma en todos los marcos. Además, el producto de la velocidad de la partícula por la velocidad de la onda es invariante \begin{equation} u'\cdot w'=c^2=u\cdot w \tag{04'} \end{equation}

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(1) La transformación de Lorentz entre los dos sistemas mencionados $\:\mathrm{S},\mathrm{S'}$ para las coordenadas espacio-temporales $\:\left(x,t\right)\:$ es \begin{align} x &=\gamma_{\upsilon}\left(x'-\upsilon t'\right) \tag{05.1}\\ t &=\gamma_{\upsilon}\left(t'-\dfrac{\upsilon x'}{c^2}\right) \tag{05.2} \end{align} y por inversión ( $\upsilon \rightarrow -\upsilon$ ) \begin{align} x' &=\gamma_{\upsilon}\left(x+\dfrac{\upsilon}{c}c t\right) \tag{06.1}\\ ct' &=\gamma_{\upsilon}\left(ct+\dfrac{\upsilon}{c}x\right) \tag{06.2} \end{align} Para la onda de fase plana \begin{align} \phi \left(x,t\right) & = \omega \; t -k\; x= \omega \underbrace{\left[\gamma_{\upsilon}\left(t'-\dfrac{\upsilon x'}{c^2}\right)\right]}_{t} -k\,\underbrace{\biggl[\gamma_{\upsilon}\left(x'-\upsilon t'\right)\biggr]}_{x} \nonumber\\ & = \underbrace{\biggl[ \gamma_{\upsilon}\left(\omega+k\,\upsilon\right)\biggr]}_{\omega'} t^{\boldsymbol{\prime}} - \underbrace{\biggl[ \gamma_{\upsilon}\left(k+\dfrac{\upsilon \omega}{c^2}\right)\biggr]}_{k'} x' = \omega'\, t' - k'\,x'=\phi'\left( x',t'\right) \tag{07} \end{align} es decir \begin{align} ck' &=\gamma_{\upsilon}\left(ck+\dfrac{\upsilon}{c}\omega\right) \tag{08.1}\\ \omega' &=\gamma_{\upsilon}\left(\omega+\dfrac{\upsilon }{c}ck\right) \tag{08.2} \end{align} De (08) vemos que el vector 2 \begin{equation} \boldsymbol{\Omega} \stackrel{def}{\equiv} \left(\omega,ck \right) \tag{09} \end{equation} se transforma en el vector 2 del espacio-tiempo \begin{equation} \mathbf{X} = \left(ct,x\right) \tag{10} \end{equation} La fase es un invariante de Lorentz como el producto interno de dos vectores en el espacio de Minkowski \begin{equation} \phi '\left( x',t'\right)= \omega' t' - k'x' = \dfrac{1}{c} \left(\boldsymbol{\Omega}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} \right)= \dfrac{1}{c} \left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{X} \right)= \omega \; t -k x=\phi \left(x,t\right) \tag{11} \end{equation} Dividiendo las ecuaciones (08) tenemos \begin{equation} \left(\dfrac{c^2 k'}{\omega'}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{c^2 k}{\omega}\right)+\upsilon}{1+\dfrac{\upsilon \left(\dfrac{c^2 k}{\omega}\right)}{c^2}} \tag{12} \end{equation} Teniendo en cuenta que la velocidad de la onda de fase es $\:\mathrm{w}=\omega/k \:$ en el marco $\:\mathrm{S}\:$ y $\:\mathrm{w'}=\omega'/k'\:$ en el marco $\:\mathrm{S'}\:$ su ecuación (02) se demuestra \begin{equation} \left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w'}}\right)=\dfrac{\upsilon+\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{1+\dfrac{\upsilon}{\mathrm{w}}}=\dfrac{\upsilon+\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{1+\dfrac{\upsilon\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{c^2}} \tag{02} \end{equation}

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(2) En la Figura 02, todos los puntos de un rectángulo se ponen en ON simultáneamente en el momento $\:t_{1}\:$ en el marco $\:\mathrm{S}\:$ y permanecerá en este estado ON durante $\:t\ge t_{1}$ . Podríamos decir que se trata de una onda de fase plana con $\:\mathrm{w}=\infty\:$ Longitud de onda $\:\lambda=\infty\:$ Es decir $\:k=2\pi/\lambda=0\:$ .

En el marco $\:\mathrm{S'}\:$ los puntos del rectángulo son encendidos gradualmente por el frente de una onda de fase plana "superlumínica" que se propaga con velocidad $\:\mathrm{w'}=c^2/\upsilon >c$ . El encendido se completa en un intervalo de tiempo $\:\Delta t'=\gamma_{\upsilon}\upsilon \ell/c^2\:$ donde $\:\ell\:$ la anchura del rectángulo en el marco $\:\mathrm{S}\:$ paralelo a la velocidad $\:\boldsymbol{\upsilon}$ .

Answer 5

Además de la respuesta de @robphy, seguí buscando algún fenómeno ondulatorio en el que la ley de composición para la velocidad inversa de mi pregunta juegue un papel, y creo que encontré uno.

Consideremos la interferencia de dos ondas luminosas que se propagan en direcciones opuestas y con frecuencias diferentes,

$$\begin{align} &\cos \omega_1\left(t - \frac{x}{c}\right) + \cos \omega_2\left(t + \frac{x}{c}\right)\\ =& 2\cos\left(\omega t - \frac{\Delta\omega}{c}x\right)\cos\left(\Delta\omega t - \frac{\omega}{c}x\right) \end{align}$$

donde

$$\begin{align} \omega &= \frac{\omega_1+\omega_2}{2},\\ \Delta\omega&=\frac{\omega_1-\omega_2}{2}. \end{align}$$

Las velocidades de fase para, respectivamente, la fase del primer y del segundo coseno son

$$\begin{align} v_1 &= c\frac{\omega}{\Delta\omega},\\ v_2 &= c\frac{\Delta\omega}{\omega}. \end{align}$$

Al ser velocidades de fase, ambas se transforman según la fórmula de adición de velocidades relativistas, pero entonces

$$v_1 v_2 = c^2.$$