Probabilidad clásica y cuántica de matrices de densidad

Question

En los libros de texto, es a veces escrito que un estado mixto, puede ser representado como la mezcla de $N$ (supongo que aquí se $N<+\infty$) quantum estados puros $|\psi_i\rangle$ con la clásica probabilidades de $p_i$: $$\rho = \sum_{i=1}^N p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i| \tag{1}\:.$$ Por encima de $p_i \in (0,1]$ $\sum_i p_i =1$ y no necesariamente asumir que $\langle \psi_i|\psi_j\rangle =0$ si $i\neq j$ pero necesito que $\langle\psi_i |\psi_i\rangle =1$, de modo que $\rho \geq 0$$tr(\rho)=1$. (Hay otro procedimiento para obtener los estados mixtos utilizando un parcial de seguimiento en un sistema compuesto, pero no estoy interesado en esto aquí).

No estoy seguro de que no tiene ningún sentido para distinguir entre clásica de probabilidades encarnada en los coeficientes $p_i$ y el quantum de las probabilidades incluidos en los estados puros $|\psi_i\rangle$ lo que representa el quantum parte del estado. Esto es debido a que, dado $\rho$ como operador, no hay ninguna manera de forma exclusiva extraer los números de $p_i$) y de los estados $|\psi_i\rangle$.

Me refiero, desde $\rho = \rho^\dagger$ $\rho$ es compacta, es siempre posible, por ejemplo, a descomponerse en una base de sus vectores propios (y hay muchos diferentes descomposiciones que conducen a la misma $\rho$ siempre $\rho$ ha degenerado subespacios propios). El uso de no ortogonal descomposiciones muchas otras posibilidades de surgir.

$$\rho = \sum_{j=1}^M q_j |\phi_j\rangle \langle \phi_j|\tag{2}$$

donde de nuevo $q_j \in (0,1]$ $\sum_j q_j =1$ y ahora $\langle \phi_i|\phi_j\rangle =\delta_{ij}$. Yo no creo que exista una manera física a decidir, a posteriori, a través de adecuadas medidas de observables si $\rho$ ha sido construida como la incoherente superposición (1), o como incoherente superposición (2). El estado de mezcla no tiene ninguna memoria del procedimiento utilizado para la construcción de la misma.

Para pasar de (1) a (2) se tiene, en un sentido, a la mezcla (aparentemente) cuántica y clásica de probabilidades.

Así que no creo que es físicamente correcto asociar una clásica y cuántica parte de un estado mixto, ya que no hay una única manera física para extraerlos de ella.

Tal vez mi impresión es que se basa simplemente en una demasiado ingenuamente la interpretación teórica de la formalismo.

Me gustaría saber sus opiniones acerca de este tema.

Answer 1

Sí, la matriz de densidad reconcilia todas las cuántica aspectos de las probabilidades con el clásico aspecto de las probabilidades, de modo que estos dos "partes" ya no pueden ser separados en cualquier invariante.

Como el OP de los estados en la discusión, la misma densidad de la matriz se puede preparar de muchas maneras. Uno de ellos pueden parecer más "clásica" – por ejemplo, el método siguiente a la simple diagonalización de la ecuación 1, y otro puede lucir más quantum, dependiendo de los estados que no son ortogonales y/o que interfieren unas con otras, como las ecuaciones de 2.

Pero todas las predicciones que se puede escribir en términos de la matriz de densidad. Por ejemplo, la probabilidad de que vamos a observar la propiedad dada por la proyección operador $P_B$ es $$ {\rm Prob}_B = {\rm Tr}(\rho P_B) $$ Así que cualquiera que sea el procedimiento produjo $P_B$ siempre producirá la misma probabilidades para nada.

A diferencia de otros usuarios, creo que esta observación por el OP tiene un trivial de contenido, al menos en el nivel filosófico. En un sentido, esto implica que la densidad de la matriz con sus probabilística de la interpretación debe ser interpretado exactamente de la misma manera como el espacio de fase función de distribución de la física estadística y el "quantum parte" de las probabilidades surgen inevitablemente de esta generalización debido a que las matrices no conmuta con cada uno de los otros.

Otra manera de expresar la misma interpretación: En la física clásica, todo el mundo está de acuerdo en que podemos tener un conocimiento incompleto acerca de un sistema físico y uso del espacio de fase de distribución de probabilidad para cuantificar. Ahora, si también estamos de acuerdo en que las probabilidades de diferentes, mutuamente excluyentes estados (estados propios de la matriz de densidad) puede ser calculado como valores propios de la matriz de densidad, y si asumimos que hay una suave fórmula para las probabilidades de algunas de sus propiedades, a continuación, se desprende también que, incluso puro unidos – cuya densidad matrices tienen autovalores $1,0,0,0,\dots$ – debe implicar predicciones probabilísticas para la mayoría de las cantidades. Excepto para los observables' o matrices' distinto de cero colector, la interferencia cuántica probabilidades no son diferentes y no "extrañas" de la clásica de probabilidades relacionadas con el conocimiento incompleto.

Answer 2

Echemos un vistazo a un famoso, ejemplo concreto: Perfectamente luz polarizada.

Alice crea luz polarizada por azar (incoherentemente), mezclando a la izquierda-circular de la luz polarizada con igual intensidad de derecho-circular de la luz polarizada.

Bob crea luz polarizada por azar (incoherentemente) de mezcla vertical de la luz polarizada con igual intensidad de la horizontal de la luz polarizada.

No hay ninguna medida que pueda decir que la luz es la de Alice y que es de Bob.

Son de Alicia luz fundamentalmente el mismo que el de Bob de la luz, o son los diferentes tipos de luz que son imposibles de diferenciar?

Bueno, uno no debería hacer demasiado de este tipo de preguntas. Pero si me dieran a elegir, yo diría que ellos son los distintos tipos de luz, porque la clásica incoherente proceso de mezcla deja un rastro de información que es suficiente para decir a los dos vigas aparte (aunque yo no tengo esa información ahora en la práctica).

Por ejemplo, tal vez Alice y Bob están cada combinación de dos diferentes rayos láser con un poco diferentes (y al azar fluctuante) frecuencias. (Esta es una manera legítima de incoherentemente agregar dos haces de luz en la práctica). Si yo no tengo un muy elegante espectrómetro, puedo describir mis posibles mediciones diciendo que estos son no polarizados vigas. Pero si puedo hacer una rápida y de alta resolución del espectrómetro, puedo darme cuenta de que la viga es de Alicia, y que es de Bob.

Este es un ejemplo de una verdad más amplia: Clásica, las probabilidades son más que dependen de la situación de quantum de probabilidades. En concreto: Si dos personas cada uno piensa que es una partícula en un estado puro, ellos siempre están de acuerdo en qué estado está, y por lo tanto se pondrán de acuerdo sobre la distribución de probabilidad para cualquier posible la medición de la partícula. Pero si dos personas cada uno piensa que es una partícula en un estado mixto, luego de que a menudo no están de acuerdo en lo mixta estado en que está, porque pueden tener diferentes auxiliar de conocimiento, lo que les lleva a asignar diferentes clásica de probabilidades. (Por ejemplo, tal vez la partícula es uno de un par EPR, y su gemelo ha sido medido, pero sólo uno de los observadores se sabe el resultado de la medición.)

Pero, dado un estado de "mi conocimiento por ahora", no hay manera de dibujar una línea entre lo clásico probabilidades y probabilidades cuánticas---y no hay razón para!

Answer 3

Voy a dar una respuesta, pero desde una perspectiva diferente, y espero que convencerlo de que no hay información en una matriz de densidad que no tiene una contraparte clásica. Además, este puede por lo tanto ser considerado como un quantum de componentes, y se puede demostrar que esta información se almacena como los vectores propios de a $\rho$.

Voy a dar un ejemplo de cómo esta se manifiesta. La Información de Fisher $I(\theta)$ es una estadística de la clásica teoría de la probabilidad que caracteriza lo rápido que se puede aprender acerca de un parámetro de $\theta$, lo que caracteriza a una distribución de probabilidad $p(\theta)$.

Específicamente la varianza de un proceso imparcial clásica estimador $\hat{\theta}$ respeta la Cramer Rao obligado $$\mathrm{var}(\hat{\theta})\geq \frac{1}{I(\theta)}$$

La aditividad de la información significa que si usted muestra la distribución de $n$ veces, la recolección de mediciones cada vez que el error esperado $\Delta \theta_c = \sqrt{\mathrm{var}(\hat{\theta})}$ de cualquier estimador va como $$\Delta \theta_c \propto \frac1{\sqrt{n}}$$

Esto es reconocido en la escala de la desviación estándar $\sigma$ en cosas como el teorema del límite central.

Podemos definir un quantum analógica, a la información de fisher $J(\theta)$ que satisface una analogus obligado, conocido como el Quantum de Cramer Rao obligado.

Sin embargo se ha encontrado que al permitir que el entrelazamiento entre clásicamente independiente de los eventos de muestreo, el obligado es mucho mejor. Y después de haber recogido un conjunto de datos de $n$ mediciones, la mejor posible cuántica estimador está limitado sólo por el error $$\Delta \theta_q \propto \frac1{n}$$.

Esto muestra que un general estado cuántico $\rho$ puede definitivamente el apoyo de las estadísticas que un clásico de distribución de probabilidad no puede.

El quantum de Fisher información de una matriz de densidad que depende de un parámetro $\theta$ $$\rho(\theta) = \sum_i p_i(\theta) |\psi_i(\theta)\rangle\langle\psi_i(\theta)|$$ puede verse separada en varias de las contribuciones, de los cuales uno es el clásico de Fisher información del espectro de $p_i(\theta)$, otro de los cuales es un Fubini-Estudio como el término que representa la información almacenada en la base de la $|\psi_i(\theta)\rangle$. La posibilidad de (super-clásico) quantum de escala depende enteramente de la existencia de este cuántica plazo.

Alternativamente, declaró, en términos de la conducta de los Fisher información estadística y su quantum análogos, una matriz de densidad de $\rho$ apoya la no clásica comportamiento sólo si el conjunto de base $|\psi_i(\theta)\rangle$ contiene información relevante para la medición, y en este sentido, la información almacenada en este modo puede ser considerado como no-clásica.

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Cosas útiles

Si usted está interesado en algunos de los temas que se discuten aquí ver esta buena revisión para obtener una explicación. http://arxiv.org/pdf/1102.2318v1.pdf

Esto para un accesibles, pero matemático explicación de la QFI. http://arxiv.org/pdf/0804.2981.pdf