Muestran que

Question

Que $X$ ser un espacio de Hilbert complejo, y que $A$ ser un operador lineal acotado en $X$. Definir la parte real de $A$ $\Re(A)=\frac{1}{2}(A^{\star}+A)$ y definir $e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(tA)^{n}$, que converge en $\mathcal{L}(X)$ % todos $t$. Demostrar \|e^{tA}\| $$\le e ^ {t\ | \Re (A) \ |}, \; \; \; t \ge 0. Nota de$$ : $A$ no se supone que es normal.

Answer 1

Va así: que $v(t)=e^{At}u$. Entonces $$d de \frac {dt} || v (t) || \Le ^2=(AV(t),v(t))+(v(t),AV(t))=((A+A^*)v(t),v(t)) || A + A ^ * ||| v (t) || ^ 2, $ donde$$ || e ^ {At} u || ^ 2\le e ^ {|| A + A ^ * || t} || u || ^ 2 $y, tomando la raíz cuadrada,$$|| e ^ {At} u || \le e ^ {\frac12|| A + A ^ * || t} || u. ||$$ QED