Tomar dos círculos de unidad en $R^2$, un desplazado $3$. Conecte estos círculos con líneas verticales en su izquierda y a la derecha los puntos. Esta completa conectado espacio métrico tomando la inducida por la distancia de $R^2$ (integridad de la siguiente manera a partir de closedness, la conectividad de las líneas a la izquierda y a la derecha). Si ahora tomamos $A$ la parte superior e $B$ el menor círculo de ambos, sin el de su derecha y a la izquierda de los puntos, su distancia es de $1$, pero la distancia de sus límites es 3.
Sin embargo, nótese que la respuesta es sí para la ruta de métrica espacios, es decir, espacios en los que la distancia de dos puntos es igual a la longitud de la menor camino continuo que conecta ellos (en realidad, es igual a la infimum de rutas de acceso).
La prueba es fácil, solo hay que tomar cualquiera de los puntos de $x,y$$A$$B$, respectivamente, de tomar cualquier conexión de ruta, y tomar dos puntos de $x_0, y_0$ en las intersecciones de esta ruta con los límites de $A$$B$. Entonces el mismo camino, pero se limita sólo a conectar $x_0$ $y_0$ tiene menor longitud, por lo $d(x_0,y_0)< d(x,y)$ y desde $x,y$ fueron arbitrarias $d(\partial A, \partial B)\leq d(A,B)$
