Diferencia en hipótesis de prueba usando el valor de p y el intervalo de confianza

Question

Tengo un problema sencillo

La población de la muestra es de 384 personas y $12$% de los que tienen una enfermedad. La hipótesis es que el $5$% de la población real tiene una enfermedad. Por eso, $H_0: \mu = 0.05$ $H_a: \mu \neq 0.05$

Primero tengo que calcular la Z-estadístico. $$ z = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p*(1-p)/384}} = \frac{0.12-0.05}{\sqrt{0.05*(1-0.05)/384}} = 6.3 $$

Utilizando el valor de p para la prueba de la hipótesis (yo R 2*(1-pnorm(6.3))): $$ 2*Φ(-|6.3|)= 2.976457 e^{-10} $$ que es menos de 0.05 de nivel de significancia, por lo tanto, rechaza la Nula.

Mediante el intervalo de confianza con nivel de significación de 0,05:

$$ \hat{p} \pm z*\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/384} = 0.12 \pm 6.3*\sqrt{0.12(1-0.12)/384} \\ \mbox{me sale el siguiente} \\ 0.0155 < 0.05 <0.224 $$

Así que según el intervalo de confianza no puedo rechazar la Nula. Es que estoy haciendo algo mal o es a veces el caso de que exista un desacuerdo entre los dos enfoques? Concedido, hay casos en los que el CI y el valor p de acuerdo que uno debería ir? Gracias.

Answer 1

Con un gran $N$, el análisis estadístico se distribuye como una normal. Por lo tanto, nos podemos referir a su estadística de prueba como "$z$", y también podemos usar "$z$" para referirse a la asintótica distribución de muestreo. Sin embargo, estos no son los mismos $z$'s. Cuando usted forma su $1-\alpha\%$ intervalo de confianza, es necesario multiplicar el error estándar por $z_{1-\alpha/2}$ para obtener el derecho de incremento. A continuación, añadir (restar) el producto de su observó porcentaje para obtener los límites de confianza. Por ejemplo, si usted quería un $95\%$ intervalo de confianza, que podría multiplicar su error estándar por $z_{.975} = 1.96$. Si utiliza este valor, su intervalo de confianza es:
\begin{align} \hat{p} \pm z_{1-\alpha/2}\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{N}} &= 0.12 \pm 1.96\times\sqrt{\frac{0.12(1-0.12)}{384}} \\[10pt] &= 0.0872 < 0.12 < 0.15 \end{align} lo cual está de acuerdo con la prueba de hipótesis.

Answer 2

No tengo representante para comentar, pero veo algunos fallos en ese problema. En primer lugar, 6,3 sigmas son más que 0.95 C.L. Solo se aplica rápidamente Teorema de Chebyshev. Un nivel de confianza, dice que "en N experimentos, si por lo menos 1 - experimentos de p se obtiene la hipótesis nula no se rechaza lo".

Entonces, una distribución binomial no es simétrica, pero hay suficientes observaciones por lo que parece simétrica si haces un histograma.

Answer 3

Sólo para captar el concepto, he estado trabajando en un par de parcelas para ilustrar por qué la $z$ estadística calcula el error estándar espera que alrededor de la población o teórico proporción (desde la perspectiva de la Nula hipótesis por así decirlo) y, a continuación, descubre cómo muchos de estos errores estándar de ajuste en la distancia desde la teoría de la población proporción de la muestra proporción - en este caso ~$\small6$ - como se muestra en este diagrama con seis flecha que separa a la población de las proporciones de muestra:

Y por qué, por otro lado, el intervalo de confianza hace lo mismo, pero desde la perspectiva de la posible hipótesis alternativa, o en otras palabras, a partir de la media de la muestra: es la proporción encontrada en la muestra que se utiliza para calcular el error estándar. Este último cálculo se representa con el intervalo de confianza se muestran como flechas divergentes lejos de la proporción de la muestra, y que abarcan dos errores estándar en cualquiera de los lados (el intervalo de confianza):

En cualquiera de los dos casos la conclusión es la misma: rechazar $H_o$ a favor de las $H_a: \,\mu \neq0.05$.

Código para las ilustraciones aquí.