Condiciones sobre el polinomio cúbico integral con grupo cíclico y coeficientes primos

Question

Dejemos que $f=T^{3}+aT+b\in\mathbb{Z}[T]$ irreducible. Para demostrar que si $f$ tiene un grupo de Grupo de Galois y coeficientes primos $a,b$ entonces $a=b$ ,

Edición: añadido irreducible. (que no lo hice).

El discriminante $\Delta=-2^{2}a^{3}-3^{3}b^{2}$ es un cuadrado, $r^{2}\in\mathbb{Z}^{2}$ . Entonces $a<0$ . Si $(a,b)$ es una solución, entonces $(a,-b)$ también es una solución para que podamos tomar $(a,b)=(-p,-q)$ con $p,q$ de primera.

No todos los polinomios cíclicos $T^3-aT-a$ tienen coeficiente primo: por ejemplo, $a=9,27,49,63...$ . Además, se tienen cúbicos cíclicos con un solo coeficiente primo: $T^3-31T-62$ . Sin embargo, si ambos coeficientes son primos, parecen ser iguales y además este primo es $p\equiv 1\mod 3$ .

Dejemos que $a=-p$ , $b=q$ por lo que el discriminante es el cuadrado $\Delta=r^2=4p^3-27q^2$ . Supongamos que $p^2\mid r^2$ Así que $m^2p^2=4p^3-27q^2$ con $m\in \mathbb{Z}$ . Entonces $p^2(4p-m^2)=27q^2$ . El caso $p=3$ puede ser eliminado. Dado que $m^2\neq 4p$ entonces $p\mid q$ así que $p=q$ . Por lo tanto, $r^2=p^2(4p-27)=m^2p^2$ y $m^2=4p-27$ debe ser un cuadrado. Esto tiene muchas soluciones en términos de $(m,p)$ .

No soy capaz de eliminar el caso $p\neq q$ "a mano". ¿Quizás se necesiten más resultados de la ciclicidad del grupo que sólo saber que el discriminante es un cuadrado?

Mi inspiración se secó allí.

Prueba de ello es la investigación numérica: los coeficientes integrales $a,b$ tal que $f$ es cíclico se imprime, y los polinomios con coeficientes primos están exclusivamente en el $x=y$ línea (puntos verdes), y exclusión raíces múltiples/discriminante cero $4x^3+27y^2=0$ en rojo.

Answer 1

El grupo de Galois de $x^3 - px + q$ es cíclico si y sólo si el discriminante $D = 4p^3 - 27q^2 = x^2$ es un cuadrado. Esto equivale a $$ p^3 = \frac{x^2 + 27q^2}4 = \alpha \alpha', \quad \text{where} \quad \alpha = \frac{x + 3q\sqrt{-3}}2. $$ Si $\gcd(\alpha,\alpha') = 1$ en ${\mathbb Z}[\zeta_3]$ , ambos factores deben ser cubos hasta las unidades, y esto lleva a una contradicción rápidamente (utilice el hecho de que $q$ es primo).

Así, $\alpha$ y $\alpha'$ deben tener un factor en común, y éste sólo puede ser $p$ . El caso $p = 3$ se elimina rápidamente, dejando $p = q$ como la única posibilidad.

Answer 2

Pongo esto al pie de la letra ya que algunas partes no me quedan del todo claras.

Si $\alpha$ y $\alpha'$ son coprimos y como su producto es el cubo $p^3$ Cada factor debe ser un cubo (admito esta parte *): $u\alpha=(a+ b\sqrt{-3})^{3}$ con $u$ una unidad en $\mathbb{Z}[\zeta_{3}]$ ( estos son $\pm1,\pm\zeta_{3},\pm\zeta_{3}^{2}$ con $u^{3}=1$ ).

A continuación, ampliando $u\alpha=a^{3}+3a{}^{2}b\sqrt{-3}-9ab{}^{2}-3b{}^{3}\sqrt{-3}=u(\frac{r}{2}+\frac{3q}{2}\sqrt{-3})$ y separando los términos da:

$$a^{3}-9ab^{2}=\frac{r}{2}, \quad 2(a^{2}b-b^{3})=q$$ Desde $q$ es primo, la última ecuación da $a=\pm b$ Así que con la primera ecuación $\alpha=-16a^{3}(1+\sqrt{-3})$ . Multiplicando por $\alpha'=-16a^{3}(1-\sqrt{-3})$ da $p^{3}=2^{10}a^{6}\in \mathbb{Q}$ imposible, ya que $p$ es primo.

Entonces existe $\beta$ tal que $\beta\mid\alpha$ y $\beta\mid\alpha'$ . Dejemos que $\gamma=c+d\sqrt{-3}$ y escribir $\alpha=\beta\gamma$ y $\alpha'=\beta\gamma'$ Así que $p^{3}=\beta^{2}\gamma\gamma'=\beta^{2}(c^{2}+3d^{2})$ una ecuación en $\mathbb{Q}$ así que $\beta=p$ y $p=c^2+3d^2$ .

Entonces $p$ divide $\alpha=\frac{1}{2}(r+3q\sqrt{-3})$ así que divide $2\alpha-r=3q\sqrt{-3}$ por lo que elminar $p=3$ (no cíclico), tenemos $p$ divide $q$ Así que $p$ = $q$ .

Además, $p\equiv c^2\mod 3$ . Ya que en $\mathbb{F}_3$ , ya sea $x^2\equiv 0\mod 3$ o $x^2\equiv 1\mod 3$ Así que todos los "buenos" primos son $p\equiv 1\mod 3$ .

(*) Después de investigar un poco, entiendo que $\mathbb{Z}[\zeta_3]$ es un UFD y $\alpha$ y $\alpha'$ siendo coprima no tienen factor común, de ahí el resultado. Esto me abre un nuevo campo. Gracias.