¿Por qué esta ecuación tiene un número diferente de respuestas?

Question

Tengo una simple ecuación: $$\frac{x}{x-3} - \frac{2}{x-1} = \frac{4}{x^2-4x+3}$$

Al verlo, uno puede ver fácilmente que $x \not= 1$ debido a que causaría $\frac{2}{x-1} $ a convertirse $\frac{2}{0}$, lo cual es ilegal.

Sin embargo, si usted hace un poco de magia con ella. En primer lugar me factorizados la última denominador para ser capaz de simplificar este: $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times1\times3}}{2 \times 1}$$ $$x=1 \vee x=3$$

Entonces podemos multiplicar todo con el factor común, que es $(x-1)(x-3)$ y obtener: $$x(x-1) - 2(x-3) - 4 = 0$$

Si multiplicamos estos soportes, obtenemos: $$x^2-x-2x+6-4=0$$ $$x^2-3x+2=0$$

La fórmula cuadrática da $x = 1 \vee x=2$. Ya sabemos que $x$ NO puede ser igual a 1, pero todavía podemos obtener como respuesta. He hecho nada malo aquí, porque como yo lo veo, esto es lo mismo que decir que:

$$\frac{x}{x-3} - \frac{2}{x-1} = \frac{4}{x^2-4x+3}$$ $$=$$ $$x(x-1) - 2(x-3) - 4 = 0$$ que no puede ser cierto, porque las dos no tienen las mismas respuestas. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Si $\dfrac AB = 0$$A=0\cdot B$. Pero no se puede decir que si $A=0\cdot B$ $\dfrac AB=0$ menos que usted sabe que $B\ne 0$. Así que si $A$ $B$ son complicadas expresiones que pueden ser resueltos por $x$, pueden ser valores de $x$ que hacen de $B$ igual a $0$, y si también hacen $A$ igual a $0$, son soluciones de la ecuación de $A=0\cdot B$, pero no de la ecuación de $\dfrac AB=0$.

"Si P entonces Q" no es lo mismo que "Si Q entonces P".

Otra forma de decirlo es que esto explica por qué la "eliminación de las fracciones" es una de las operaciones que se pueden introducir "extrañas raíces". Quizás el más conocido es el hecho de que el cuadrado ambos lados de una ecuación se puede hacer eso.