¿Cuál es el menor número de cuadrados necesarios para cubrir una $11 \times13\text { cm}$ rectángulo sin superposición?

Question

Necesito ayuda para resolver este rompecabezas matemático: Tengo un $11 \times13\text { cm}$ rectángulo y necesito ayuda para calcular el menor número de cuadrados que necesito para cubrir el rectángulo sin superposición. Me dicen que la respuesta debe ser como máximo 5. Si puede, proporcione una imagen para ayudarme a entender.

Answer 1

Puedo probar que no hay una solución de 5 cuadrados. Los tabiques de $11 \times 13 = 143$ en sumas de cinco cuadrados se pueden enumerar: $$ \matrix {1^2 &+ 1^2 &+ 2^2 &+ 4^2 &+ 11^2 \cr 1^2 &+ 1^2 &+ 4^2 &+ 5^2 &+ 10^2 \cr 1^2 &+ 2^2 &+ 5^2 &+ 7^2 &+ 8^2 \cr 1^2 &+ 3^2 &+ 4^2 &+ 6^2 &+ 9^2 \cr 2^2 &+ 4^2 &+ 5^2 &+ 7^2 &+ 7^2 \cr 2^2 &+ 5^2 &+ 5^2 &+ 5^2 &+ 8^2 \cr 3^2 &+ 3^2 &+ 3^2 &+ 4^2 &+ 10^2 \cr 3^2 &+ 3^2 &+ 5^2 &+ 6^2 &+ 8^2 \cr }$$ Todos menos uno de estos pueden ser eliminados de la mano, mirando los dos cuadrados más grandes: $a \times a$ y $b \times b$ los cuadrados no pueden caber en un rectángulo sin superponerse, a menos que el rectángulo tenga una dimensión al menos $a+b$ . La posibilidad restante es $2^2 + 5^2 + 5^2 + 5^2 + 8^2$ pero es fácil ver que un $8 \times 8$ cuadrado y tres $5 \times 5$ los cuadrados no caben en el rectángulo.

No hay azulejos de la $11 \times 13$ rectángulo con $5$ cuadrados incluso si no se requieren lados enteros. Es mejor trabajar hasta $5$ azulejos de uno en uno.

Con un azulejo ( $a \times a$ ) sólo se puede azulejar un $a \times a$ rectángulo.

Con dos azulejos, ambos deben ser $a \times a$ y obtienes un $a \times 2a$ rectángulo. De ahora en adelante, dejaré fuera el $a$ y asumir la mayor El divisor común de las longitudes de los bordes es $1$ así que llama a esto $1 \times 2$ .

Con tres azulejos, al menos uno debe estar en un borde de su rectángulo, y el resto del rectángulo es un rectángulo de dos azulejos. Hay dos casos, dependiendo de cómo esté orientado ese rectángulo de dos baldosas:

Con cuatro azulejos, podrías poner otro cuadrado en un lado de un rectángulo de tres azulejos, o podrías tener cuatro cuadrados iguales, cada uno tomando una esquina de un $2 \times 2$ cuadrado. Hay cinco posibilidades.

Con cinco azulejos, podrías poner un cuadrado en un lado de un rectángulo de cuatro azulejos, obteniendo un $4 \times 7$ , $7 \times 3$ , $5 \times 1$ , $4 \times 5$ , $4 \times 2$ , $8 \times 5$ , $3 \times 8$ , $7 \times 2$ o $5 \times 7$ rectángulo. O si ningún cuadrado toma un lado entero del rectángulo, debes tener un cuadrado en cada una de las cuatro esquinas del rectángulo y un cuadrado no en una esquina. Si es así, no es difícil ver que este cuadrado sin esquina debe estar en un borde, digamos el borde derecho. En el borde izquierdo, los dos cuadrados pueden ser del mismo tamaño (resultando en un $6 \times 5$ rectángulo) o de diferentes tamaños. Si son de diferentes tamaños, el más pequeño debe ser del mismo tamaño que su vecino de la derecha, resultando en un $7 \times 6$ rectángulo.

(Espero) que sean todas las posibilidades, sin contar las rotaciones y los reflejos. Ninguna de las posibilidades tiene un $11$ a $13$ proporción.

Answer 2

Supongamos que es posible cubrir el rectángulo sin superponerlo usando $5$ o menos cuadrados.

Claramente la longitud lateral de cada cuadrado es como mucho $11$ . Supongamos que tenemos un cuadrado con una longitud lateral $11$ . Debe estar alineado en el eje, por lo que al quitar este cuadrado se deja un rectángulo de tamaño $11 \times a$ donde $a \leq 2$ . Cada cuadrado dentro de este rectángulo tiene un área como máximo $a^2$ así que este rectángulo requiere al menos $11a/a^2>5$ cuadrados, una contradicción.

Así que podemos asumir que todos los cuadrados tienen un tamaño inferior a $11$ . En particular, ningún cuadrado puede cubrir dos esquinas del rectángulo. Pero cada esquina del rectángulo debe ser también la esquina de un cuadrado, por lo que necesitamos cuatro de los cuadrados para cubrir las esquinas del rectángulo (llámenlos los cuadrados de las esquinas). Supongamos que los cuadrados de las esquinas tienen tamaños $a,b,c,d$ así que $a+b,c+d \leq11 $ y $b+c,a+d \leq13 $ . Cada borde del rectángulo toca dos cuadrados de esquina, que o bien cubren el borde o dejan un hueco. Desde $a+b+c+d \leq22 $ una de las longitudes $13$ los lados tiene un hueco.

Si un lado del rectángulo tiene un hueco, entonces esta sección del borde debe ser un borde del cuadrado final. Ya que el cuadrado final tiene un tamaño menor que $11$ esto sólo puede ocurrir en un extremo. Podemos suponer que el tamaño $a$ y $d$ los cuadrados dejan un hueco, así que $a+b=c+d=11$ y $b+c=13$ . Así $$ b=11-a,\,c=a+2,\,d=9-a. $$ El tamaño del cuadrado final es $13-(a+d)=4$ . El área total del rectángulo es $$ 11 \times13 =4^2+a^2+b^2+c^2+d^2=4a^2-36a+222. $$ Resolviendo, $$ a= \frac92\pm\frac1 { \sqrt2 }. $$ Dibujando explícitamente, vemos que ninguna de las dos soluciones funciona. Así que no es posible con 5 o menos cuadrados.

Answer 3

Hay una forma de conseguir 143 usando 4 cuadrados, pero se superpondrían. 9x9, 7x7, 3x3, 2x2 es probablemente lo que tu profesor consiguió. La forma de hacerlo en 6 es 7x7, 6x6, 5x5, 2 4x4, 1x1.

Answer 4

El número máximo de cuadrados de 1x1 que pueden caber en este rectángulo sería $11*13=143$

Answer 5

El rectángulo dado puede dividirse en 3 columnas que contienen 1,2,2 cuadrados o 2 columnas que contienen 4,1 o 3,2 cuadrados. Ambas posibilidades, incluso usando longitudes laterales no enteras, no darán 11 x 13. No se puede hacer usando 5 cuadrados.

El mínimo tiene que ser 6. El que tienes.