definiciones equivalentes de cierre

Question

Esta es una topología de que se trate.

Primero de todo, siento que esto es una realidad ficticia que se trate. Como un estudiante de matemáticas, es una lástima que yo no he tomado cursos en la topología.

Un cierre de un conjunto $A$ es generalmente definido como $\operatorname{int}(A)\cup \partial A $. Me gustaría saber cómo probar la equivalencia de esta declaración a $A \cup A'$ donde $A'$ es la derivada de conjunto.

Gracias de antemano.

========EDITAR==========

$\operatorname{int}(A) = \bigcup\{O :\, O\text{ is open and }O\subseteq A \}$

$\partial A$ se define como cualquier $x$, un conjunto abierto que contiene la intersección de ambos $A$ $A^{c}$

$A'$ es un conjunto que contiene todos los límites de los puntos que se definen como cada conjunto abierto que contiene a un punto límite, al menos contiene un elemento de $A$.

Espero que sea más claro ahora. Y se agradecería un 'estándar' definición de clausura podría ser dado.

===========ACTUALIZACIÓN=========

Gracias a Asaf Karagila para la edición del texto. Lo siento, yo sólo puede aceptar una respuesta, así que me voy por el primero y el más votado. Pero realmente aprecio del otro contibutions. Muchas gracias a todos!

saludos

Answer 1

La definición de sistema abierto que diste:

$\operatorname{int}(A) = \bigcup\{O :\, O\text{ is open and }O\subseteq A \}$

Básicamente describe el interior de $A$ como el más grande abierto conjunto contenido en $A$. ¿Puedes pensar en una noción dual para conjuntos cerrados? Sin embargo, creo que contador dual a la noción de un sistema abierto, el cierre de un conjunto debe contener el conjunto.

Answer 2

Hay muchas definiciones de 'cierre', y uno que es especialmente útil es: $$ \overline{A} = \bigcap \{ C \;|\; A \subseteq C, C \;\textrm{cerrado} \} $$

De todos modos, me gustaría probar $int(A) \cup \partial A = A \cup A'$ directamente. (Es sorta muy divertido, de verdad.)

I. Espectáculo $int(A) \cup \partial A \subseteq A \cup A'$. Desde $int(A) \subseteq A$, todos debemos mostrar es $\partial A \subseteq A \cup A'$. Deje $x \in \partial A$. Por definición, cualquier abra $U$ contiene $x$ debe cruzan ambas $A$ $A^c$ trivial. Supongamos $x \notin A$ (si $x \in A$, ya estamos de hecho). Deje $U$ ser cualquier conjunto abierto que contiene a $x$. A continuación,$U \cap A \neq \emptyset$, lo que muestra que hay un cierto punto de la $A$, no es igual a $x$ (desde $x \notin A$) que viven dentro de las $U$, lo que demuestra la $x \in A'$.

II. Espectáculo $A \cup A' \subseteq int(A) \cup \partial A$. Aquí, debemos mostrar tanto $A \subseteq int(A) \cup \partial A$$A' \subseteq int(A) \cup \partial A$.

IIa. $A \subseteq int(A) \cup \partial A$. Deje $x \in A$ y supongamos $x \notin \partial A$. Entonces (por def. de $\partial A$), existe algún conjunto abierto $U$ contiene $x$ tal que cualquiera de las $U \cap A = \emptyset$ o $U \cap A^c = \emptyset$. Pero $x \in U \cap A$ (por lo tanto no vacío), por lo que debemos tener $U \cap A^c = \emptyset$. Esto es equivalente a $U \subseteq A$. Ahora tenemos un conjunto abierto completamente dentro de $A$, conteniendo $x$. Por definición,$x \in int(A)$.

IIb. $A' \subseteq int(A) \cup \partial A$. Deje $x \in A'$ y supongamos $x \notin \partial A$. Como en IIa, esto implica que existe un abierto $U$ contiene $x$ tal que cualquiera de las $U \cap A$ o $U \cap A^c$ está vacía. Pero, por definición, de $A'$, cada conjunto abierto que contiene a $x$ debe intersectar $A$ en un elemento no es igual a $x$. Por lo $U \cap A \neq \emptyset$, lo que implica que $U \cap A^c = \emptyset$, el cual (como en IIa) implica $x \in int(A)$.

Por cierto, la mayoría de las pruebas en la escuela primaria de punto establecido de la topología puede ser batida a cabo de esta manera. Argumentar a partir de las definiciones, el uso de la teoría de conjuntos, el uso de la lógica para romper uniones en "O" y las intersecciones en "Y", etc.

Espero que esto ayude!

Answer 3

El "estándar" de la definición de cierre que normalmente me encuentro es el de la doble definición de interior. Se define el interior como el mayor conjunto abierto que está contenida en $A$; esto se logra con la definición que dan (la unión de todos los conjuntos que figuran en $A$) ya que la unión de abiertos es abierta, y la unión de los subconjuntos de a $A$ es un subconjunto de a $A$.

Para lograr la doble definición, podemos definir el cierre de $A$ a ser el menor conjunto cerrado que contiene a $A$, que luego se ve fácilmente que es equivalente a: $$\mathrm{cl}(A) = \bigcap\{ C\mid A\subseteq C\quad\text{and}\quad C\text{ closed}\}.$$ (O, se puede definir el cierre de $A$ a ser el complemento del interior del complemento de $A$, $$\mathrm{cl}(A) = \left(\mathrm{int}(A^c)\right)^c,$$ desde que el menor conjunto cerrado que contiene a $A$ es el complemento de la mayor conjunto abierto que está contenida en $A^c$).

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Ahora, que quieren demostrar que $\mathrm{int}(A)\cup \partial A = A\cup A'$.

Para demostrar $\mathrm{int}(A)\cup\partial A \subseteq A\cup A'$, tenga en cuenta que $\mathrm{int}(A)\subseteq A \subseteq A\cup A'$ por definición, por lo que es suficiente para mostrar que $\partial A \subseteq A\cup A'$. Tome $x\in\partial A$. Si $x\in A$, no hay nada que hacer. Ahora suponga $x\notin A$; el uso de la definición de $\partial A$ a demostrar que necesariamente habrán $x\in A'$.

A la inversa inclusión es quizás un poco más delicado, ya que no tiene ningún inclusiones obvio. Me gustaría proceder como sigue: en primer lugar demostrar que $A\subseteq \mathrm{int}(A)\cup \partial A$, demostrando que si $a\in A-\mathrm{int}(A)$,$A\in\partial A$; para ello, muestran que cualquier conjunto abierto que contiene a $a$ no puede estar completamente contenida en $A$. A continuación, tenemos que mostrar que $A'\subseteq \mathrm{int}(A)\cup\partial A$. Mostrar que si $x\in A'-A$,$x\in \partial A$. Entonces, simplemente, tenga en cuenta que si $x\in A'\cap A$, entonces estás hecho ya, puesto que usted ya sabe que $\mathrm{int}(A)\cup \partial A$ contiene todos los puntos de $A$.

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Por último, probablemente desee para comprobar que el "estándar" de la definición que dio de acuerdo con los que le han dado.

Si $x\notin \mathrm{int}(A)\cup\partial A$,$x\notin\partial A$, por lo que existe un conjunto abierto que contiene a$x$, y está completamente contenida en $A$, o completamente contenida en $A^c$; pero si eran completamente contenida en $A$, entonces tendríamos $x\in\mathrm{int}(A)$, una contradicción a la elección de $x$; por lo tanto, existe un conjunto abierto $U$ $x\in U$ $U\cap A=\emptyset$ . Eso significa que $C=U^c$ está cerrada y contiene $A$, lo $\mathrm{cl}(A)\subseteq C$. Desde $c\notin C$,$x\notin \mathrm{cl}(A)$. Hemos demostrado que $\mathrm{cl}(A)\subseteq \mathrm{int}(A)\cup\partial A$.

Ahora vamos a $x\notin \mathrm{cl}(A)$. Entonces existe un conjunto cerrado $C$ tal que $A\subseteq C$$x\notin C$. Deje $U=C^c$; a continuación, $U$ está abierto, $U\cap A=\emptyset$, e $x\in U$. En particular, $x\notin A$, e $x\notin A'$, lo $x\notin A\cup A'$. Por lo tanto, hemos demostrado que $A\cup A'\subseteq \mathrm{cl}(A)$.

Por lo tanto: $$A\cup A' \subseteq \mathrm{cl}(A) \subseteq \mathrm{int}(A)\cup\partial A = A\cup A',$$ demostrando la deseada igualdad.