Varias formas de números cuadrados suma para un número dado

Question

Me gustaría saber cuántas opciones de $x_i$ hay que $$\sum_{i=1}^{n}x_i^2=m$$ donde $n$, $m$ se dan. El $x_i$ puede ser cualquier número entero no negativo y no tiene por que ser la única y la orden es relevante. $k=\lfloor \sqrt{m} \rfloor$ también se da y puede o puede no ser útil, no sé. Así que básicamente estoy pidiendo el entero de la partición, pero con la plaza de números en lugar de los números enteros. La plaza de la partición', supongo?

Un ejemplo: $n = 3, m =4$ $3$ soluciones, a saber:$x_1$ = 2, $x_2 = x_3 = 0$ y $2$ permutaciones. Otro ejemplo $n = 4, m =4$ $5$ soluciones, a saber:$x_1$ = 2, $x_2 = x_3 = x_4 = 0$ y $3$ permutaciones y la solución de $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 1$.

Si no hay solución exacta existe, ¿alguien sabe cómo se aproxima a este al$1 << n$$1 << m$?

Gracias

Answer 1

La Generación De La Serie:

Deje $r_{n}(m)$ denotar el número de maneras de escribir $m$ como una suma de $n$ plazas. (Fin incluido. También, podríamos $-n$ $n$ cuando se mira en $n^2$) es bastante sencillo dar una muy buena generación de la serie en términos de un conocido modular la función. Considerar la Jacobi Theta Función $$\vartheta_{3}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{n^{2}}.$$ Notice that $$\sum_{m=0}^{\infty}r_{1}(m)x^{m}=\vartheta_{3}(x)=1+2x+2x^{4}+2x^{9}+2x^{16}+\cdots.$$ (Note, we are counting both positive and negative solutions, i.e. $4=(-2)^2$ and $4=2^2$) Also, $$\sum_{m=0}^{\infty}r_{2}(m)x^{m}=\vartheta_{3}(x)^{2}$$ since when we square $\vartheta_{3}(x)$ the only exponents that appear are those which are the sum of two squares. The number of times they appear is the number of different ways to create that sum. Similarly, $$\sum_{m=0}^{\infty}r_{n}(m)x^{m}=\vartheta_{3}(x)^{n}.$$

(De nuevo, el único de los exponentes que aparecen son los que puede ser escrito como la suma de $n$ plazas, y los coeficientes da exactamente el número de maneras de hacer que la suma)