¿Si $H$ y $K$ son subgrupos normales, superresoluble $G$, sigue que $HK$ es superresoluble?

Question

Que $H$ $K$ ser superresoluble, normales subgrupos de un grupo $G$. ¿Sigue que $HK$ es superresoluble?

Esto es cierto si $H \cap K = 1$ desde un producto directo de dos grupos superresoluble es superresoluble. Sin embargo, creo que existen contraejemplos para la instrucción cuando $H \cap K \neq 1$. ¿Cuál es el más pequeño ejemplo (finito)? ¿Cualquier ejemplo que es particularmente fácil de probar?

Answer 1

El ejemplo más pequeño es $G=S_3 \wr S_2$, el producto de la guirnalda de $S_2$ actuando sobre dos copias de $S_3$. Tomar $M$ a ser el grupo base, $$M=\langle (1,2), (5,6), (1,2,3), (4,5,6) \rangle = S_3 \times S_3,$$ and $N $ to be a twisted copy: $% $ $N=\langle (1,2)(4,5), (1,4)(2,5)(3,6), (1,2,3), (4,5,6) \rangle \cong S_3 \times S_3.$

$MN=G$ Tiene un % de factor principal $A_3 \times A_3$que no es simple, por lo que no es superresoluble $G$.