Evaluando

Question

$$I(a)=\int_{0}^{\infty}\sin^3(x)\cos[a\tan(x)]\frac{dx}{x}$$ I'd like to evaluate the integral by differentiating with respect to parameter $ a$ pero sin éxito todavía. Parece imposible. ¿Qué sería de las otras opciones?

Editar: una hipotética cerrada forma solución:

$$I(a)=\frac{\pi}{4}(1-a)e^{-a}$$

Answer 1

Suponga $a > 0$ y aviso:

• En virtud de traducciones $x \mapsto x + n\pi, n \in \mathbb{Z}$: $$\sin^3(x)\cos(a\tan x) \mapsto (-1)^n\sin^3(x)\cos(a\tan x)\tag{*1}$$
• $\frac{1}{\sin x}$ la expansión: $$\frac{1}{\sin x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x + n\pi}\tag{*2}$$

Tenemos: $$\begin{align} I(a) = & \int_0^{\infty}\sin^3(x)\cos(a\tan x)\frac{dx}{x}\\ = & \frac12 \int_{-\infty}^{\infty}\sin^3(x)\cos(a\tan x)\frac{dx}{x}\\ = & \frac12 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{(n-\frac12)\pi}^{(n+\frac12)\pi}\sin^3(x)\cos(a\tan x)\frac{dx}{x}\\ \overset{(\text{ by }*1)}{=} &\frac12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3(x)\cos(a\tan x)\left(\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} \frac{(-1)^n}{x + n\pi}\right)dx\\ \overset{(\text{ by }*2)}{=} &\frac12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(x)\cos(a\tan x)dx \end{align}$$ Ahora vamos a $t = \tan x$, obtenemos: $$I(a) = \frac12 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t^2}{1+t^2} \cos(a) \frac{dt}{1+t^2} = \frac12 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t^2}{(1+t^2)^2} e^{iat} dt\etiqueta{*3} $$ Descomponer $\frac{t^2}{(1+t^2)^2}$ en fracciones parciales:

$$\frac{t^2}{(1+t^2)^2} = \frac14 \left( \frac{1}{(t-i)^2} - \frac{i}{t-i} + \frac{i}{t+i} + \frac{1}{(t+i)^2}\right)$$ Podemos integrar a $(*3)$ usando curvas a nivel integral. Desde $a > 0$, se puede deformar el contorno en la mitad superior del plano, de recogida de residuos de el integrando en $t = i$ y obtener: $$I(a) = \frac{2\pi i}{8}\left[ \frac{d}{dt}\left(e^{iat}\right) - i e^{iat} \right]_{t=i} = \frac{\pi}{4}(1-a) e^{-a} $$

Answer 2

Un caso especial es fácil, el uso de $4 \sin^3(x) = 3 \sin(x) - \sin(3x)$: $$ I(0) = \int_0^\infty \frac{\sin^3(x)}{x} \mathrm{d} x = \frac{3}{4} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \mathrm{d} x - \frac{1}{4} \int_0^\infty \frac{\sin(3x)}{x} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{4} $$ Es fácil ver que $I^\prime(a)$ es singular en $a=0$.

Con el fin de evaluar $I(a)$ numéricamente algunas de masaje que se necesita: $$ \begin{eqnarray} I(a) &=& \int_0^\infty \sin^3(x) \cos(a \tan x) \frac{\mathrm{d}x}{x} \\ &=& \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \sin^3(x) \cos(a \tan x) \frac{\mathrm{d}x}{x} \\ &=& \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{-\frac{\pi}{2} + \pi n }^{\frac{\pi}{2} + \pi n} \sin^3(x) \cos(a \tan x) \frac{\mathrm{d}x}{x} \\ &=& \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n \sin^3(y) \cos(a \tan y) \frac{\mathrm{d}y}{y+\pi n} \\ &\stackrel{t =\tan(u)}{=} & \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{u^3}{(1+u^2)^{5/2}} \cos(a u) f(u) \mathrm{d} u = \int_{0}^\infty \frac{u^3}{(1+u^2)^{5/2}} \cos(a u) f(u) \mathrm{d} u \end{eqnarray} $$ donde $f(u)$ está definido por la suma: $$ \begin{eqnarray} f(u) &=& \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{\pi n + \arctan(u)} = \frac{1}{\arctan(u)} - 2 \arctan(u) \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\pi^2 n^2 - \arctan(u)^2} \\ &=& \frac{1}{\pi} \left( \Phi \left(-1,1,\frac{\arctan(u)}{\pi }\right)+\Phi \left(-1,1,1-\frac{\arctan(u)}{\pi }\right) \right) \end{eqnarray} $$ donde $\Phi(z,s,a)$ denota la Lerch trascendente. Con esto podemos trazar $I(a)$ el uso de métodos numéricos:

Answer 3

Supongamos que $f(z)$ tiene una serie de Maclaurin de expansión con coeficientes reales que converge en el círculo unidad en el plano complejo.

Entonces

$$ \text{Re} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} f(e^{2ix})\, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^3 x}{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cos(2nx) \, dx .$$

Ahora suponiendo que podemos cambiar el orden de la suma y de la integración (lo que sería más difícil de justificar si la serie no converge absolutamente),

$$ \begin{align} &\text{Re} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} f(e^{2ix})\, dx \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} \cos(2nx) \, dx \\ &= f(0) \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} \, dx + f'(0) \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} \cos(2x) \, dx + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} \cos(2nx) \, dx. \end{align}$$

Voy a demostrar que todas las integrales se desvanecen, excepto para los dos primeros.

Observe que para $a \ge 0$,

$$ \begin{align} &\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} \cos(ax) \, dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{3 \sin(x) - \sin (3x)}{x} \cos(ax) \, dx \\ &= \frac{1}{8} \int_{0}^{\infty} \frac{3 \sin [(1+a)x] + 3 \sin [(1-a)x] - \sin [(3+a)x] - \sin [(3-a)x]}{x} \, dx \\ &= \frac{\pi}{16} \Big(3 \, \text{sgn}(1+a) + 3 \, \text{sgn}(1-a) - \text{sgn}(3+a) - \text{sgn}(3-a) \Big) \tag{1} \\ &= \begin{cases} 0 & \text{if} \ a >3 \\ - \frac{\pi}{16} & \text{if} \ a = 3 \\ - \frac{\pi}{8} & \text{if} \ 1<a <3 \\ \frac{\pi}{16} & \text{if} \ a = 1 \\ \frac{\pi}{4} & \text{if} \ a <1 \end{cases} \end{align}$$

Por lo tanto,

$$ \begin{align} \text{Re} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} f(e^{2ix})\, dx &= f(0) \left(\frac{\pi}{4} \right) + f'(0) \left(-\frac{\pi}{8} \right) + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{f^{n}(0)}{n!} (0) \\ &= \frac{\pi}{8} \Big(2 f(0) - f'(0) \Big). \end{align}$$

$(1)$ $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin (ax)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2} \, \text{sgn}(a)$

---

Como un simple ejemplo, consideremos la función completa $f(z) = e^{z}$.

A continuación, $$\text{Re} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} \, e^{e^{2ix}} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3} x}{x} \, e^{\cos (2x)} \cos (\sin 2x) \, dx = \frac{\pi}{8} \Big( 2(1)-1 \Big) = \frac{\pi}{8}.$$

---

Ahora, consideremos la función $$ f(z) = \exp \left(a \, \frac{z-1}{z+1} \right)$$ for $un\ge 0$.

Desde $\exp \left(a \, \frac{z-1}{z+1} \right)$ tiene una singularidad esencial en a $z=-1$, sabemos que su serie de Maclaurin tiene un radio de convergencia de $1$.

Lo que no sé de inmediato, y lo que resulta difícil de determinar, es si la serie converge en el círculo unidad (excluyendo el punto de $z=-1$).

Pero suponiendo que no tenemos

$$ \begin{align} \text{Re} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3}(x)}{x} \, \exp \left(a \, \frac{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1} \right) \, dx &= \text{Re} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3}(x)}{x} \, \exp (ia \tan x) \, dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{3}(x)}{x} \cos(a \tan x) \, dx \\ &= \frac{\pi}{8} \Big(2 (e^{-a}) -2ae^{-a} \Big) \\ &= \frac{\pi}{4} (1-a) e^{-a}. \end{align}$$