¿Cómo resolver esta recurrencia mediante funciones generadoras?

Question

Ejercicio: Para $n \geq 0$ deje $a_n = \sum \limits_{i=0}^n (i^2- 2i + 1)$

a) Mostrar que $$a_{n+4} -4a_{n+3} + 6a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0, n \geq 0$$

b) Identificar la genereating serie $\sum \limits_{n\geq 0} a_n x^n$.

c) Identificar un polinomio $p(n)$$n$$p(n) = a_n$.

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Hola!

Todavía no entiendo cómo en esta serie de ejercicios y no tienen ninguna idea de cómo solucionar esto.

Podría usted por favor me ayude y me mostrara qué hacer para resolverlos y, si es posible de una manera incluso de las matemáticas-imbécil como yo puede entender?

Gracias de antemano!

Answer 1

Para la parte (a), usted no necesita ni siquiera ser conscientes de la simplificación mencionada por FUZxxl: usted puede tomar una puramente mecánico enfoque.

Nota primera de todas (esta es una especie de broma, pero no del todo) que

$$a_n=a_n$$

Ahora para obtener el $a_{n+1}$, tomamos la suma de hasta $i=n$, a continuación, agregue el siguiente término, que es $(n=1)^2-2(n+1)+1$. Es conveniente, sólo para ahorrar espacio, para notar que $j^2-2j+1=(j-1)^2$, para llegar a $a_{n+1}$, hemos añadido la $n^2$$a_n$. Así $$a_{n+1}=a_n+ n^2$$

Del mismo modo, para obtener el $a_{n+2}$, añadimos $(n+1)^2$$a_{n+1}$. Así $$a_{n+2}=a_{n+1}+ (n+1)^2=a_n+n^2+(n+1)^2$$

El mismo tipo de razonamiento muestra que $$a_{n+3}=a_n+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$$ y que $$a_{n+4}=a_n+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2$$

Ahora "enchufe" los valores que encontramos en la expresión $$a_{n+4}-4a_{n+3}+6a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n$$

Simplificar, usando álgebra. Si usted hace la simplificación inteligentemente, no vaya a ser un montón de trabajo.

Después de algún tipo de manipulación, obtendrá $0$. Todo este trabajo para nada (débil juego de palabras).

El punto que estoy haciendo es que una vez que obtenga una comprensión de lo $a_k$ realmente significa, la verificación de la identidad es puramente mecánica.

Naturalmente, hay mejores (o al menos impermeable) formas de hacer el trabajo. Sin embargo, para tales impecables maneras en que uno necesita un poco más teórica, que en esta etapa puede que aún no tienen. Tal vez casi. Si usted está comenzando a ser cómodo con la generación de funciones (las"series"), usted puede buscar una generación argumento de la función.

Voy a suponer que usted puede hacer las otras partes. Si sigue habiendo dificultades, por favor deje un comentario, y yo u otras personas que pueden ser capaces de ayudar.

Answer 2

Sugerencia: Tenga en cuenta que

$$a_n=\sum_{i=0}^n(i^2-2i+ 1)=\sum_{i=0}^n(i-1)^2=\sum_{i=-1}^{n-1}i^2$$

Answer 3

"Identificar la generación de la serie" por lo general significa mostrar la generación de la función es igual a la de algunos más simple expresión, donde "simple" significa que no impliquen cualquier infinita de procesos (como infinito sumas).

Aquí hay una manera de hacerlo.

En primer lugar, dar a la serie un nombre: voy a dejar de $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots$.

Ahora, la parte a) implica $a_{n+1}$, $a_{n+2}$, etc., así que echemos un vistazo a $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^n=a_1+a_2x+a_3x^2+\dots$. Usted obtener esta serie desde el uno para $f$ restando $a_0$ y dividiendo por $x$, lo $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^n=x^{-1}(f-a_0)=x^{-1}f-a_0x^{-1}$.

Del mismo modo, $\sum a_{n+2}x^n=x^{-2}f-a_1x^{-1}-a_0x^{-2}$, $\sum a_{n+3}x^n=x^{-3}f-a_2x^{-1}-a_1x^{-2}-a_0x^{-3}$, y $\sum a_{n+4}x^n=x^{-4}f-a_3x^{-1}-a_2x^{-2}-a_1x^{-3}-a_0x^{-4}$

Ahora el recirrence relación que tiene en la parte a) muestra que $$\eqalign{&\sum a_{n+4}x^n-4\sum a_{n+3}x^n+6\sum a_{n+2}x^n-4\sum a_{n+1}x^n+\sum a_nx^n\cr&\qquad=\sum(a_{n+4}-4a_{n+3}+6a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n)x^n=0\cr}$$

Ahora el uso de las expresiones que tenemos para todos los otros sumsto convertir esto en una ecuación de $f(x)$.