Acordes de ortogonales de conjuntos compactos

Question

Para cualquier compacto conjunto en un avión dicen siempre hay un acorde de C en C tal que su extremo son ortogonales límite de C (supuesto suave)

Answer 1

Considere dos puntos de $p,q$, en el límite, a una distancia máxima de unos a otros. Si el acorde $pq$ no es ortogonal a la frontera, dicen en $p$, entonces uno podría mover $p$ a lo largo de la curva en una de las dos direcciones, la obtención de un nuevo punto de $p'$, de modo que $d(p',q)>d(p,q)$.

En un comentario, Neal ha preguntado lo que garantiza la existencia de puntos de $p,q$ sobre el límite de la máxima distancia uno de otro. La primera notación: Vamos a $A$ el conjunto en cuestión, cuyo límite es decir la cerrada curva suave $\gamma$. Desde $A$ es compacto, tiene un diámetro, y así hay puntos de $p_1,q_1$ que $d(p_1,q_1)=d$ donde $d$ es el diámetro de $A$. Para llegar a este resultado ver

de diámetro en un espacio métrico compacto

Ahora pretendemos que en el hecho de $p_1$ se encuentra en el límite de $A$. Porque si no, queda en el interior de $A$, por lo que se encuentra en algunas de disco $D$$A$. Pero entonces podríamos ampliar el segmento de $p_1p_2$ un poco en $D$, aumentando su longitud, en contra de $d(p_1,q_1)=d$. Del mismo modo podemos ver que $q_1$ debe estar en el límite. Conclusión: con $p=p_1,q=q_1$ tenemos dos puntos en el límite de la máxima distancia uno de otro, y además lograr el diámetro del conjunto total $A$.

Answer 2

La distancia máxima argumento es la esencia de la cuestión (véase la respuesta por coffeemath) y quiero aislar aquí la mínima hipótesis de trabajo, sin la imposición de la regularidad de las condiciones o restricciones topológicas en el límite. El conjunto compacto podría ser la de Hawai Pendiente de espacio, o un arete con una cantidad no numerable de círculos, o el límite podría ser una figura $8$, pero la prueba continúa el trabajo si...

1. (infinitamente cerca de rayos se extienden a infinitamente cerca de líneas) para cada límite de punto de $p$ del límite, si existe una secuencia de puntos de la frontera de $q_n$ convergentes a $p$ asintótica y a un vector $v$ basado en ese punto (de modo que el ángulo entre el $v$ y el vector de $p$ $q_n$va a cero), entonces hay puntos de la frontera de $r_n$ convergentes a $p$ asintótica y para el vector opuesto a $v$, Y
2. (todos los puntos tienen infinitamente cerca de la tangente-como las líneas) de Cada punto de la frontera tiene una secuencia de al menos un vector distinto de cero $v$.

Esto es cierto si el límite es una unión de curvas diferenciables con un valor distinto de cero vector de velocidad (localmente cerca de cualquier punto, las curvas son "ramas", cada uno encierra el momento, en un abrir suave arco), que cubre la mayoría de los casos. La prueba de que funciona en cualquier número de dimensiones, o en un colector de Riemann si entiendes $v$ vivir en el espacio de la tangente en $p$.