En un $p$-unidad de adic y la existencia de la raíz de $n$-th

Question

Que $\mathbb{Q}_p$ ser el campo de $p$-números adic. Que $\alpha$ ser un $p$-unidad de adic, es decir, un elemento inversible del monoid multiplicative $\mathbb{Z}_p$. Considerar que el conjunto de $S = \{n \in \mathbb{Z}, n \gt 0\mid x^n = \alpha$ tiene una solución en $\mathbb{Q}_p\}$. ¿Es un conjunto infinito de $S$?

Answer 1

Por lema de Hensel, si % entonces $p\nmid n$ tiene una solución $x^n\equiv \alpha\mod{p}$ $x\in\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^\times$y $x^n=\alpha$ ha una solución $x\in\mathbb{Z}_p$. Ahora, $\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^\times$ es cíclico de orden $p-1$, por lo que para cualquier $n$ $(n,p-1)=1$ $x^n\equiv\alpha\mod{p}$ tiene una solución $x\in\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^\times$. Sigue que $S$ contiene todas las $n>0$ $(n,p(p-1))=1$, $S$ es infinito.